2. Средний коэффициент эластичности

В экономическом анализе часто используется эластичность функции:

. (6.19)

Эластичность показывает, насколько процентов изменяется функция y=f(x) при увеличении независимой переменной на 1%.

Для степенной функции производная равна . Соответственно коэффициент эластичности окажется равным

.

Отметим, что только для степенной функции коэффициент эластичности представляет собой постоянную величину, равную параметру b. Именно поэтому степенные функции широко используются в экономических исследованиях, поскольку параметр b здесь имеет чёткую экономическую интерпретацию

Для других функций коэффициент эластичности зависит от значений переменной x. Так, для линейной функции коэффициент эластичности равен

.

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной и других функций не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности по формуле:

. (6.20)

Средний коэффициент эластичности характеризует силу связи между факторным и результирующим признаками. Он показывает на сколько процентов в среднем изменится y, если среднее значение x увеличится на один процент. В зависимости от вида зависимости между x и y формулы расчёта коэффициентов эластичности будут меняться. Поэтому из всех функциональных зависимостей предпочтение отдают той, для которой имеет наибольшее значение.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчёт экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, вряд ли кто будет определять, на сколько процентов может измениться заработная плата с ростом стажа работы на 1%. Или, например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницы, если качество почвы, измеряемое в баллах, изменится на 1%.

3. Коэффициент детерминации

Как уж ранее отмечалось, в случае линейной регрессии основными показателями качества построенного уравнения регрессии служат коэффициент детерминации и критерий Фишера. Использование этих показателей обосновывается в теории дисперсионного анализа. Здесь рассматриваются следующие суммы:

 – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS);

 – сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS);

 – сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS).

Напомним, что для моделей, линейных относительно параметров, выполняется следующее равенство

. (6.21)

Исходя из этого равенства, вводился коэффициент детерминации

. (6.22)

В силу определения R² принимает значения между 0 и 1, . Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R²=1, то эмпирические точки (x_i,y_i) лежат на линии регрессии и между переменными Y и X существует функциональная зависимость. Если R²=0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтённых в модели переменных. Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

Однако для моделей, нелинейных относительно параметров, равенство (6.21) не выполняется, т.е. . В связи с этим может получиться, что или . Это означает, что коэффициент детерминации, определяемый по формулам (6.22), может быть больше единицы или меньше нуля. Следовательно, R² для нелинейных моделей не является вполне адекватной характеристикой качества построенного уравнения регрессии.

На практике обычно в качестве коэффициента детерминации принимается величина

. (6.23)

Эта величина имеет тот же самый смысл, что и для линейной модели, но при его использовании нужно учитывать все рассмотренные выше оговорки.

Замечание. Величину R² для нелинейных моделей иногда называют индексом детерминации, корень из данной величины R называют индексом корреляции.

Если после преобразования нелинейное уравнение регрессии принимает форму линейного парного уравнения регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции , где z – преобразованная величина независимой переменной, например z=1/x или z=lnx.

Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с результативным признаком. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции ( или ). Несмотря на близость значений R_yx и или R_yx и , следует помнить, что эти значения не совпадают. Это связано с тем, что для нелинейной регрессии , в отличие от линейной регрессии .

Коэффициент детерминации можно сравнивать с квадратом коэффициента корреляции для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина ( – ) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия этих показателей, вычисленных по одним и тем же исходным данным.

Коэффициент детерминации можно использовать при сравнении двух альтернативных уравнений регрессии. Можно выбрать наилучшую из них по максимальному значению коэффициента детерминации. При рассмотрении альтернативных моделей с одним и тем же определением зависимой переменной предложенный способ выбора достаточно проста и очевидна. Однако нельзя сравнивать, например, линейную и логарифмические модели. Значения lnY значительно меньше соответствующих значений Y, поэтому неудивительно, что остатки также значительно меньше, но это ничего не решает. Величина R² безразмерна, однако в двух уравнениях она относится к разным понятиям. В одном уравнении она измеряет объясненную регрессией долю дисперсии Y, а в другом – объясненную регрессией долю дисперсии lnY. Если для одной модели коэффициент R² значительно больше, чем для другой, то можно сделать оправданный выбор без особых раздумий, однако, если значения R² для двух моделей приблизительно равны, то проблема выбора существенно усложняется.

Более подробно проблемы спецификации рассматриваются в дополнении 3.

Отметим, что критерий Фишера можно применять только для нормальной линейной классической регрессионной модели. Однако в общем случае, в первую для моделей нелинейных по параметрам, критерий Фишера применять нельзя! Иногда критерий Фишера применяют для линеаризованных моделей, однако здесь следует помнить, что исходное и линеаризованное уравнения не одно и то же, т.е. здесь нужны серьезные оговорки.

Более подробно использования критерия Фишера для линеаризированных моделей смотрите в дополнении 2.