5. Полулогарифмическая модель

Модель вида

(6.15)

называется полулогарифмической (или линейно-логарифмической) моделью. Эта модель обычно используется в тех случаях, когда необходимо исследовать влияние процентного изменения независимой переменной на абсолютное изменение зависимой переменной. Полулогарифмическая модель характеризует замедленными темпами роста Y от X.

Например, если положить Y=GNP (валовой национальный продукт), а X=M (денежная масса), то получим следующую формулу:

,

из которой следует, что если увеличить предложение денег M на 1%, то ВНП в среднем вырастет на 0,01.

6. S-образные модели

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются т.н. S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Логистическая модель (модель Перл-Рида) имеет вид

. (6.16)

Л огистическая кривая имеет вид, показанный на рис. 6.1. Особенностью логистической кривой состоит в том, что она является симметричной относительно точки перегиба.

К числу S-образных моделей относится модель Гомперца:

. (6.17)

Здесь  и  – положительные параметры, k – асимптотическое значение функции.

В отличие от логистической кривой в кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом – прирост функции незначителен, на втором – прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. Отметим, что кривая Гомперца уже не является симметричной относительно точки перегиба.

3. Показатели качества для нелинейных моделей регрессии

   1. Средняя ошибка аппроксимации

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, имеющимся статистическим данным. В случае простой линейной регрессии показателями качества построенного уравнения регрессии служат, в первую очередь, коэффициент детерминации и критерий Фишера. Однако в случае нелинейной регрессии использование этих показателей наталкивается на определенные трудности, о которых будет ниже говориться. Поэтому для оценки качества нелинейного уравнения регрессии используется совокупность различных показателей и характеристик. Обсудим некоторые из них.

Фактические значения результативного признака (зависимой переменной) отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т.е. y_i от . Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, тем лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчётных значений результативного признака ( ) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации.

Поскольку ( ) может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю:

.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую:

. (6.18)

Допустимый предел значений – не более 8-12%. Здесь нет единого мнения о допустимых значений , тем более этот выбор зависит от конкретных условий задачи.

Отметим, что средний коэффициент аппроксимации является приближенной оценкой качества модели. В первую очередь это связано с тем, что этот коэффициент зависит от выбора начала отчета величин y_i.