Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой линии на плоскости может быть получено из канонических уравнений прямой в пространстве (1.3.6), если положить z₀ = 0 и р=0

В зависимости от условий задачи уравнение прямой на плоскости может быть записано в виде:

a)y=kx+b- (1.3.27)

уравнение прямой с угловым коэффициентом;

б)ах+bу+с=0 - (1.3.28)

общее уравнение прямой

в)y=y₀+k(x-x₀)- (1.3.29)

уравнение прямой, проходящей через точку М_о(х_о,y_о) и имеющей заданный угловой коэффициент k;

у равнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми у = k₁x+b₁ и у = k₂x+ b₂ определяется по формуле

У словия параллельности и перпендикулярности прямых имеет вид:

k₁ = k₂ (параллельности) (1.3.32)

k₂ = -1/k₁ (перпендикулярности) (1.3.33)

Пример 1. 3.10. Треугольник задан координатами вершин A₁(1,2), А₂(4,0), A₃(6,3) . Написать уравнения:

1) стороны А₁А₃ ;

2) медианы, проведенной из вершины А₂ ;

3) высоты, проведенной из вершины А₂

1) Воспользуемся уравнением (1.3.30)

2 ) Пусть точка К -точка пересечения медианы треугольника, проведенной из А₂ со стороной А₁А₃ . Точка К-середина отрезка А₁А₃. Поэтому ее координаты равны полусумме координат концов отрезка, а именно

В оспользуемся уравнением (1.3.30)

3 )Высота, проведенная из вершины А₂ перпендикулярна стороне А₁А₃, поэтому угловой коэффициент k определяется из условия (1.3.33):

В оспользуемся уравнением (1.3.29):

у = y₂ + k(x-x₂); y=0-5(x-4);

y=-5x +20, т.е. высота треугольника А₁А₂А₃ , проведенная из вершины A₂ совпадает с медианой, проведенной из этой вершины.

Вопросы для самопроверки

1.Запишите условия перпендикулярности и параллельности:

а)прямых;

б)плоскостей;

в)прямой и плоскости.

2.Получите координаты точки К делящей данный отрезок АВ в отношении

3 .Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она:

а)параллельна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

б)перпендикулярна осям координат ОХ; ОУ; OZ;

в)параллельна плоскостям ОХУ; OXZ; OYZ .

4. Как найти точку, симметричную точке М₀(x₀,у₀,z₀) относительно плоскости Ах+ Ву+ Cz+D = 0 .

5. Составьте уравнение плоскости , проходящей через точку М₀ (x₀,y₀,z₀) параллельно двум прямым с направляющими векторами а₁ и а₂ , причем а₁ ≠ а₂

6.Получите нормальное уравнение плоскости.

7.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М₁ и М₂ ,

параллельно вектору а .

8.Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми.

9.Получите уравнение биссектрисы угла треугольника.

10.Получите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости ХОУ.