Вопросы для самопроверки

1. Какие матрицы называются равными?

2. В каких случаях возможно перемножение двух матриц ?

3. В каких случаях существуют произведения как АВ так и ВА?

4. Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов матрицы ? В чем отличие между ними ?

5. Сформулируйте правило Крамера.

6. Как осуществляется транспонирование матрицы ?

7. В чем суть метода элементарных преобразований получения обрат­ной матрицы ?

8. Что такое ранг матрицы ?

9. Что такое основная и расширенная матрицы системы ?

10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера-Капелли.

Тема 1.2. Векторная алгебра

Учебники: [1, гл.1, § 1-3], [10, гл.2]/ [16, гл.7].

Аудиторная работа: [2, N1.4, 1.10(1), 2.1(1), 2.2(1), 2.3(1)-2.8(1), 2.28, 3.1(1), 3.8, 3.19(1), 3.20(1), 3.23], [7, гл.3, N1(1), 2, 3, 8(1), 10, 11(1), 12(1), 14(1)], [20, ч.1, гл.2, N2.9, 2.35, .2.43, 2.78, 2.79, 2.100(a), 2.102, 2.106(a), 2.107, 2.118, 2.127(a), 2.132, 2.137], [25, занятия 2(2.2.9,2.2.10), 3(3.2.1, 3.2.3, 3.2.5-3.2.7), 4(4.2.4-4.2.6), 5(5.2.2, 5.2.5-5.2.7)].

Самостоятельная работа: [2, N1.5, 1.7, 1.10(2,3), 2.1(2-5), 2.2(2), 2.3(2, 3)-2.8 (2,3) , 2.29, 2.30, 3.1(2,3), 3.19(2,3), 3.20(2)], [7, гл.3, N1(2), 4, 6, 7, 8(2), 9, 11(2), 12(2), 14(2)], [20, ч.1, гл.2, N2.11, 2.32, 2.44-2.46, 2.82-2.84, 2.86, 2.100(б, в), 2.106(6,в), 2.108, 2.119, 2.127(6), 2.133, 2.134], [25, задания 2(2.3.6, 2.3.7), 3, 4, 5].

Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин ис­пользуются векторы. Вектором (геометрическим) называется направ­ленный отрезок прямой. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Положение начальной точки таких векторов не играет никакой роли. Поэтому геометрические век­торы называются свободными.

При изучении темы «Векторная алгебра» студенту следует обра­тить внимание на ниже рассмотренные вопросы.

1. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

Векторы необходимо уметь складывать как по правилу треугольни­ка, так и по правилу параллелограмма.

2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисные векторы. Декартов базис.

Пример 1.2.1. Указать при каких значениях α и β возможно ра­венство

αa + βb = 0, где а° и b° единичные векторы

(a⁰=a / |a|, b⁰=b / |b| ). Для решения приведенной задачи необходимо

рассмотреть возможное расположение векторов а и b :

Рис .1.2.1 Pис .1.2.2 Рис .1.2.3

a) векторы а и b сонаправлены (Рис. 1.2.1), тогда α=-β;

b) векторы а и b имеют противоположное направление (рис.1.2.2). В этом случае α=β ;

с) векторы а и b образуют между собой угол φ. При этом угол φ от­личен от 0 и π радиан (рис.1.2.3). Приведенное в условии равен­ство возможно лишь при α=β=0.

Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимо­сти и независимости векторов (важнейшее положение темы «Векторная алгебра»).

Л инейной комбинацией п векторов х_i (i=1,n) называется сумма произведений этих векторов на действительные числа а_i (i=1,n), а именно

(В рассмотренном примере записана линейная комбинация 2^х единичных

векторов а° и b° ) .

В екторы х_i (i=l,n) называются линейно-зависимыми, если их ли­нейная комбинация (1.2.1) равна нулю, а среди коэффициентов a_i(i=l,n) имеется хотя бы один отличный от нуля. На рис. 1. 2 .1-1. 2 . 2 изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть располо­жены на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условие коллинеарности векторов а = λb , где λR. Если три вектора расположены в одной либо в параллельных

плоскостях, то они называются компланарными.

Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие - компланарности векторов:

с = αа+βb .

В екторы x_i (i=l,n) называются линейно-независимыми, если ра­венство нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда коэффициенты a_i(i=l,n) одновременно равны 0.

Случай двух линейно-независимых векторов представлен на

рис. 1.2.3 (линейная комбинация αа+βb равна нулю лишь при одновре­менном обращении в ноль α и β) .

Пример 1.2.2. Векторы а,b,с некомпланарны (линейно независи­мы). Доказать, что векторы m=a+2b-c, п=За-b+с и р=а+5b-Зс компланарны и найти их линейную зависимость.

Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов т,п,р (αт+ βn+γk = 0) и подставим в равенство разложения векторов т,п,р по векторам а, b,с .

α(a+ 2b- c)+β(3a- b+ c)+γ(-a+5b-3c)=(α+3β - γ)a+(2 α - β+5 γ)b+(- α+ β-3 γ)c=0

Равенство нулю линейной комбинации векторов а,b,с возможно лишь в том случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решим методом Гауса (пример 1.1.11)

К оэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов т,п,р могут быть отличны от нуля, следовательно векторы т,п,р линейно зависимы (компланарны). Подставляя α, β, γ в равенствo αт+βп+γp=0 и сокращая на С, получим -2т+ n+k = 0 .

С понятием линейной независимости векторов тесно связано та­кое фундаментальное понятие как базис.

Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, параллельныx плоскости Q. Любой вектор с,

параллельный плоскости Q, можно представить в виде с= αа+ βb.

Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядо­ченная тройка некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если а,b,с- базис в пространстве, то любой вектор d пространства можно единственным образом разложить по этому базису по формуле:

d= αа+ βb+γc

Декартовым базисом на плоскости (рмс 1.2.4) называются два единичных, взаимно-перпендикулярных вектора i и j (| i| = |j| =1, ij ), совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ соот­ветственно.

рис.1.2.4 рис.1.2.5

Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в виде a=a_x i+a_y j , где числа а_x и а_y называются координатами вектора а .

Декартовым базисом в пространстве (рис.1.2.5.) называются три

единичных взаимноперпендикулярных вектора i,j,k, совпадающих с по­ложительным направлением осей OX,OY и OZ соответственно. Любой

вектор а может быть единственным образом представлен в виде

a=a_x i+a_y+a_z k , где числа а_x , а_y , а_z называются координатами вектора а. Если вектор a=АВ задается координатами начальной точки A(x_a , y_a, z_a ) и конечной B(x_b, y_b, z_b ), то его координаты имеют вид:

a=(x_b-x_a, y_b-y_a, z_b-z_a ).

Два вектора а и b равны в том и только в том случае, когда координаты их равны, т.е. a_x=b_x, a_y=b_y, a_z=b_z.

3.Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением век­торов а и b называется число равное произведению длин этих век­торов на косинус угла между ними, т.е.

a b=|a||b|cos(a,b) (1.2.2 )

Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить ко­синус угла между векторами

Д лина вектора |а| определяется по формуле

|a| = (1.2.4 )

Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание

на коммутативный (перестановочный) закон аb=bа.

П ример 1.2.3. Вычислить угол между векторами а и b , если

а =2т+ Зп , b = т- 2n , |т|=2 , |п|=3, (m,n)= π/3 . Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3).

(2т+3n)(m-2n)=2mm-4-тп+Зпт-6пп=2тт-тп-6пп=2·2·3·cos0-2·3·cos(π/3)--6·3·3·cos0=12-3-54=-45;

Предположим в пространстве задан декартов базис { i , j, k } и два вектора

а = а_x i+ a_y j+ а_z k , b = b_x i + b_y j+ b_z k .

В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина векто­ра вычисляются по формулам:

а b = a_xb_x+ a_yb_y + а_zb_z (1.2.5)

|а| = (1.2.6)

Условие перпендикулярности векторов: аb=0 или

a_xb_x+ a_yb_y + а_zb_z =0 (1.2.7)

Условие коллинеарности векторов:

a=λb или (1.2.8)

Пример 1.2.4. При каком значении α векторы a(2,3,4) и b(3, α,-1) перпендикулярны?

Используя (1.2.7), имеем ab=6+3α -4=0 или 3α =-2 , α =-2/3

Пример1.2.5.При каких значениях α и β векторы а(2,4,α) и b(4,β,1)коллинеарны?

Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем: 2/4=4/β=α/1. Откуда 4/β =1/2 или α/1=1/2, β = 8, а α =1/2

Пример 1.2. 6. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(l,-2,-2) образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |b| =15.

Пусть вектор b имеет координаты b_x , b_y, b_z, Из условия коллинеар­ности (1.2.8) имеем b = λа или b_x = λа_x = λ , b_y = λа_y =-2λ , b_z= λа_z=-2λ.

По формуле (1.2.6) вычисляем

О ткуда |λ|=5 или λ5. Получаем два вектора b; b₁ (5,-10,-10) и b₂ (-5,10,10). Так угол между вектором b и ортом j острый, то cos(b,j)>0 и ко­ордината b_y>0. Поэтому в качестве вектора b выбираем вектор b₂ т.е. b =-5 i+10 j+10k .