Вопросы для самопроверки

1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка.

2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою:

а) плоскость;

б) пустое множество?

Привести примеры.

3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.

4.Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z)=0, где F-однородный многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале ко­ординат .

После изучения тем 1.1-1.6 раздела 1 студенту необходимо вы­полнить контрольную работу N1.

Дополнение 1.1.Образец выполнения и оформления контрольной работы n1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры."

Задача N1.Вычислить :

a) |m+2n| ;

б) угол между векторами т+ п и -m+ п , если |т|= 2 ,|п| = 3 , (т,п)=60 ^o .

а )Согласно определения модуля |т+2п| =

б) угол между векторами a и b вычисляется по формулам

В ычислим отдельно числитель и знаменатель

(т+2n)(-m+3n)=-m²+mn+6n² = -2∙2 +2∙3-cos60°+6∙3∙3= -4+3+36 =35;

| m+2n| =2√13 (см. пункт а) ;

З адача N2.Заданы координаты четырех вершин пирамиды ABCD . А(-2,0,0), B(1,1,-1), С(-1,3,0), D(-1,0,2).

Вычислить АВ; (АВ,АС); площадь ΔAВС, объем пирамиды; длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани АВС. Записать уравнения: прямой АВ; плоскости АВС; высоты пирамиды DH; медианы AM треугольника АВС, высоты АК треугольника АВС, биссектрисы AL треугольника АВС .

1 . Вектор АВ имеет координаты: АВ (3,1,-1) . Поэтому его длина рав­на: АВ= √9+l+l = √11 (ед) .

2.Угол φ между векторами АВ и АС определяется по формуле (1.2.3).Вычислим длину вектора ВС :

B C=√4+4+1= 3 (ед) .

С калярное произведение вычислялось по формуле (1.2.5)

3 .Площадь треугольника АВС вычислена в примере 1.2.9.

4.Объем пирамиды ABCD вычислен в примере 1.2.10

5.Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к грани АВС также вычислена в примере 1.2.10.

6.Уравнение прямой АВ будем искать в виде (1.3.8), т.к. заданы две точки этой прямой А и В.

П одставляя в последнее уравнение координаты точек А и В, получим (x+2)/3=y=-z

7.Уравнение плоскости АВС можно записать в виде (1.3.4), т.к. за­даны координаты тpeх точек А,В,С

У равнение плоскости АВС: 3x- y-8z+6 =0

8.Уравнение высоты пирамиды DH ищем в виде (1.3.6)

К оординаты точки D известны/ а направляющий вектор прямой а(т,п,р) коллинеарен вектору нормали к плоскости АВС . Вектор норма­ли к плоскости АВС N имеет координаты N(3,-1,8) (см. пункт 7 дан­ной задачи). Поэтому уравнение прямой DH имеет вид

9 . Уравнение медианы AM ищем в виде (1.3.8)

Т очка М- середина отрезка В С имеет координаты

1 0. Уравнение высоты АК ищем в виде

Н аправляющий вектор прямой АК, вектор a(m,n,p) перпендикулярен вектору N(3,-1,8)-нормали к плоскости АВС и вектору BС(-2,2,1) (рис.Д.1.1). Поэтому вектор а может быть вычислен по формуле (1.2.10)

11.Точка L-точка пересечения биссектрисы AL со стороной ВС делит отрезок ВС на части, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон, т.е.

П о формулам деления отрезка в данном отношении находим коор­динаты точки L

У равнение биссектрисы AL ищем в виде (1.3.8)

П одставляя в последнее уравнение координаты точек А и L, получим

З адача N3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (3,-1,2) и прямую

Рис.Д.1.2

Уравнение искомой плоскости ищем в виде (1.3.1)

А(х-x₀ ) +B(y-y₀ )+C(z-z₀ )= 0 , где (x₀, у₀, z₀) координаты точки M₀(1,-4,1),

расположенной на прямой L и принадлежащей плоскости Р .

В ектор нормали п к плоскости Р определим из условия n = М₀М₁ x а , где М₀М₁ (2,3,1), а (2, -1, 2 ) .

Т аким образом п(А,В,С) = n(7,-2,-8) и уравнение плоскости имеет вид

7(х-1)-2(y+4)-8(z-1)=0

7х-2y-8z-7=0

Задача N4.Найти расстояние между прямыми

П рямая L₁, проходит через точку M₁(2,-2,1) и имеет направляющий вектор

a₁ (3,-2,4). Уравнение прямой L₂ запишем в виде (1.3.8), пред­варительно определив какие-либо две точки, например: К₁(1,-6,0) и K₂(1,0,9):

Н аправляющий вектор прямой L₂ a₂ (0,2,3). Прямые L₁ и L₂ не параллель­ны, т.к. a₁≠λa₂ , λR. Проверим пересекаются ли прямые L₁, и L₂ использовав условие (1.3.18)

С мешанное произведение векторов отлично от нуля, поэтому прямые L₁, и L₂ не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Расстоя­ние между скрещивающимися прямыми находим по формуле (1.3.20), предварительно вычислив |a₁ x a₂| по формулам (1.2.10) и (1.2.6)

Задача N5.Вычислить значение многочлена f(A) от матрицы А, если

З адача N6.Матричным методом решить систему линейных алгебраическиx уравнений.

x ₁+2x₂+4x₃=17

x₁+x₂+6x₃=21

2x₁+3x₂+3x₃=17

Решение системы находим по формуле (1.1.8) X= А^-1В, где

а обратная матрица вычисляется по формуле (1.1.6) .

Т аким образом, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3

Задача N7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка Зx² + 4xy - 4х- 8y = 0 .

Определить тип кривой.

Решение задачи приведено в примерах 1.4.1 и 1.6.1.

Метод решения студент выбирает сам.