1.1 Предмет механики сплошной среды 3

Технология производства на химических предприятиях. Проблемы взаимодействия мощных лазеров с различными тела-

ми задачи нелинейной оптики, взаимодействия движущихся тел с электромагнитными полями.

Биологическая механика, движение крови, явление сокращения мышц и общая теория дыхания и легких.

_{Методы механики сплошной среды.}

В нашем курсе мы рассмотрим теоретические основы МСС и ма- тематические методы изучения движения деформируемых тел.

Будет введен ряд понятий, которые характеризуют и однозначно определяют движение сплошной среды.

В МСС разработаны (и разрабатываются) методы сведения меха- нических задач к задачам математическим, т.е. к задачам об отыс- кании некоторых чисел или числовых функций с помощью матема- тических операций.

Важнейшей целью МСС является установление общих свойств и законов движения деформируемых тел.

Отметим, что само решение конкретных задач МСС с помощью математических операций также обычно относится к МСС. Это объ- ясняется тем, что, как правило, даже в простейших случаях матема- тически поставленные задачи МСС получаются очень трудными и практически неразрешимыми эффективно современными средства- ми математики, в том числе и вычислительной. Поэтому приходится видоизменять постановки задач и находить приближенные решения на основе различных механических гипотез и соображений. Для это- го необходимо понимать суть изучаемого явления.

Ряд отраслей математики получил большое развитие под влия- нием МСС. Например, МСС оказала большое влияние на развитие некоторых разделов ТФКП, краевых задач для УрЧП, интегральных уравнений и др.

Очень полезны аналогии некоторым задачам МСС, которые об- наруживаются при ближайшем рассмотрении в других разделах ме- ханики и физики.

Различные проблемы МСС и математические методы их иссле- дований во многих случаях тесно связаны между собой. Например, исследования движения жидкостей в трубах послужили для объяс- нения некоторых основных фактов движения жидкости около кры- ла самолета. Методы решения задачи об обтекании крыла самолета имеют много общего с математическими методами решения задачи о

фильтрации жидкости в почве. Течение сжимаемого газа описывает- ся такими же уравнениями, как и течение тонкого слоя несжимаемой жидкости.

На первых порах мы будем далеки от изучения указанных выше задач. Вначале нам потребуется подготовить много материала обще- механического и математического характера. Утешением может по- служить ссылка на исторические развитие МСС. Прошло более ста лет, прежде чем математические методы МСС в теории движения жидкостей и газов получили успех в практических вопросах.

1.2. Основные гипотезы механики сплошной сре- ды

_{Строение реальных тел и гипотеза сплошности.}

Как известно, все тела представляют собой совокупности разного сорта молекул и частиц. Иногда тела могут быть ионизованными, т.е. состоящими из электронов, ионов и нейтральных частиц. Приведем данные об атомах и молекулах.

_{Данные об атомах и молекулах.}

_{Радиус ядра атома имеет порядок 10}⁻¹³ _{см, радиус молекулы во-}

_{дорода 1.36·10}⁻⁸ _{см, т.е. радиус ядра атома много меньше радиуса мо-}

лекулы, в то же время именно в нем сосредоточена основная масса ве- щества: масса электрона 9.1066 · 10⁻²⁸ г, масса протона 1.6724 · 10⁻²⁴ г.

При обычных условиях в объеме воздуха в 1 кубический санти- метр содержится N = 2.687 · 10¹⁹ молекул. На высоте 60 км, что намного выше потолка современных самолетов, число частиц в ат- мосфере N = 8 · 10¹⁵ 1/см³. В солнечном ветре на орбите Земли N = 5 1/см³ = 10¹⁵ 1/км³. Расстояние в километр малo по срав- нению с характерными космическими расстояниями, поэтому даже межзвездный газ можно рассматривать как среду с очень большим числом частиц в малых объемах.

Для железа (Fe) N = 8.622 · 10²² 1/см³, плотность ρ_Fe = 7.8 г/см³, а плотность ядерного вещества ρ_nuleus = 1.16 · 10¹⁴ г/см³, так что ρ_Fe/ρ_nuleus = 7 · 10⁻¹⁴.

Видно, что объемы занимаемые телами, много больше объемов, в которых сосредоточено само вещество.

Таким образом, по существу, все тела состоят их пустоты и в то же время в практически малых объемах пространства, занятого телом, сосредоточено большое число частиц.

Атомы и молекулы находятся в постоянном хаотическом движе- нии.

При обычных атмосферных условиях средняя скорость v_mean мо- лекул водорода 1692 м/сек больше скорости современного пасса- жирского самолета. Молекулы все время сталкиваются между со- бой, путь свободного пробега молекул водорода в обычных атмо-

сферных условиях l = 11.2 · 10⁻⁶ см. Для кислорода v_mean = 425

_{м/сек, l = 6.5 · 10}⁻⁶ _{см, т.е. за 1 секунду одна молекула сталкивается}

_{l = 6.55 · 10}⁹ _{раз с другими молекулами.}

_{О взаимодействии частиц.}

Частицы взаимодействуют между собой определенным образом. В газе взаимодействие связано только со столкновениями частиц. В жидкостях и твердых телах частицы расположены ближе и в ним существенны силы взаимодействия.

Силы, обеспечивающие прочность и упругость тел, имеют элек- трическую природу и, грубо говоря, сводятся к силам Кулона. Что касается ядерных сил и сил слабого взаимодействия, то они проявля- ются только при ядерных реакциях, когда частицы взаимодействуют на близких расстояниях. Для такого сближения частиц нужна ко- лоссальная энергия, которая может возникать за счет хаотического движения частиц при температурах в миллионы градусов.

_{О существенных для МСС физико-химических процессах.}

Зная электрические силы взаимодействия между частицами, мож- но строить теорию твердых деформируемых тел. Поэтому очень важ- на электродинамика.

Для моделирования реальных тел необходимо учитывать различ- ные структурные особенности этих тел. Тела могут быть газообраз- ными, жидкими, твердыми, аморфными, кристаллическими, могут иметь различные фазы.

Помимо структуры важное значение имеют природа вещества и свойства составных частей смесей, растворов, сплавов.

Во многих случаях возникают механические задачи о движении тел с учетом изменения качества составных частей и их относитель- ного содержания. Это, например, задачи о движениях газов, сопро- вождающиеся ядерными и химическими реакциями, в частности, го- рением, диссоциацией, ионизацией, рекомбинацией и т.д.

Важное значение могут иметь процессы фазовых переходов, та- кие как конденсация, испарение, плавление, затвердевание, полиме- ризация, перекристаллизация и т.д.

При изучении движения материальных континуумов необходимо вводить внутренние напряжения. В телах с дискретными молекуляр- ным строением внутренние напряжения являются статистическими

средними, обусловленными как непосредственными силами взаимо- действия между молекулами по разные стороны от рассматриваемо- го сечения, так и переносом макроскопического количества движе- ния (импульса) через это сечение, которое происходит в результате теплового движения молекул.

Свойство вязкости в газах объясняется действием теплового дви- жения молекул, выравнивающим макроскопические движение сосед- них частиц газа. Таким образом, свойства внутренних напряжений в материальных средах определяются их молекулярным составом, силами взаимодействия между молекулами и атомами и тепловым движением, характеризуемым температурой среды.

Аналогичным образом объясняется явление теплопроводности: для любых двух соседних частиц среды происходит обмен энергией либо путем столкновений, либо за счет обмена быстрыми и медленными молекулами. Статистически средняя энергия теплового движения, характеризующаяся температурой, стремится к выравниванию.

Механизм диффузии в смесях также объясняется молекулярно- кинетическим процессом перемешивания молекул в результате их теплового движения.

_{Статистический и феноменологический подходы.}

Сложное строение молекул и удерживающие их электрические силы не всегда известны. Казалось бы, механику следует развивать на базе представления о материальном теле как совокупности эле- ментарных частиц. Однако следить за движением каждой частицы невозможно в силу их большого числа и неизвестности сил взаимо- действия. Для практики требуются только некоторые средние, сум- марные, или глобальные характеристики.

Развиваемый в физике статистический метод является одним из общих методов подхода к исследованию поведения материальных сред. В нем применяется вероятностный подход к изучаемым явле- ниям и вводятся средние по большому ансамблю частиц характери- стики.

Другим общим методом подхода к исследованию поведения мате- риальных сред является построение феноменологической макроско- пической теории, основанной на общих, добытых из опыта законо- мерностях и гипотезах. Макроскопические теории являются эффек- тивным средством решения практически важных задач и добытые с их помощью сведения согласуются с опытом.

В дальнейшем мы будем использовать феноменологическую мак- роскопическую теорию материальной среды.

_{Гипотеза сплошности.}

Введем понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдельных частиц, но их много в любом существенном для нас объеме, поэтому тело можно приближенно рассматривать как среду, заполняющую пространство сплошным образом.

Непрерывным континуумом можно считать не только обычные материальные тела, но и различные поля, например, электромагнит- ное поле.

Эта идеализация, в частности, необходима потому, что мы хотим использовать аппарат математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисления.

_{О пространстве и времени.}

Под пространством будем понимать совокупность точек, задава- емых с помощью чисел, которые называются координатами.

Мы будем рассматривать метрические пространства простран- ства, в которых определены расстояния между точками. Пример обычное трехмерное евклидово пространство, точки которого зада- ются с помощью единой для всего пространства декартовой системы координат x, y, z и расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) определяется по формуле

r = ^p(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² + (z₁ − z₂)² (1.1)

Оказывается, далеко не всегда можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат. Например, на поверхно- сти сферы, кривизна которой не равна нулю, этого сделать нельзя, т.е. нельзя на сфере ввести систему координат так, чтобы расстоя- ния между двумя любыми точками на ней определялись формулой (1.1). На сфере декартову систему координат можно ввести только в малой окрестности каждой точки.

В дальнейшем мы будем в основном рассматривать только та- кие пространства, в которых можно ввести единую для всех точек декартову систему координат. Такие пространства называются ев- клидовыми.

Понятие времени связано с опытом и необходимо в механике. Вре- мя, вообще говоря, может зависеть от системы отсчета наблюдате- ля. Мы будем пользоваться абсолютным временем идеализацией, которая пригодна, когда пренебрегается эффектами теории относи- тельности.

Итак, мы будем рассматривать движение сплошной среды кон- тинуума в евклидовом пространстве и будем пользоваться абсолют- ным временем. Таким образом, мы ввели три фундаментальные ги- потезы, с использованием которых будет строиться теория движения деформируемых тел.