Глава 6. Математическая модель гидроди- намики

6.1. Теорема живых сил и работа внутренних поверхностных сил

Одним из наиболее важных общих следствий динамических урав- нений движения сплошной среды является теорема живых сил.

Пусть V произвольный конечный объем, движущийся вместе с частицами материальной среды и Σ поверхность ограничивающая этот объем. Будем предполагать, что внутри объема V компоненты

тензора напряжений Π^ˆ = p^ij~e_i~e_j и вектора скорости ~v = vⁱ~e_i = v_i~e ⁱ

_{непрерывные дифференцируемые функции координат и времени.}

Возьмем вектор перемещения d~r = ~v dt бесконечно малого объе- ма сплошной среды dV за время dt. Умножим скалярно уравнение движения

ρ~a = ρF^~ + ∇_j p~^j или ρaⁱ = ρF ⁱ + ∇_j p^ij

на d~r = ~v dt и проинтегрируем по объему V . Получим

^{Z Z Z}

V

ρ~a · ~v dt dV =

^{Z Z Z}

V

ρF^~ · d~r dV +

^{Z Z Z}

V

(∇_j p^ij )v_i dt dV. (6.1)

_{Преобразуем каждый из входящих в это соотношение интегралов.}

_{Кинетическая энергия объема V сплошной среды.}

Скалярную (инвариантную) величину ~v · ~a можно вычислить в любой системе координат.

_{Например, в декартовой системе координат получим}

_{dx d}

^µ _dx ^¶

_{dy d}

^µ _dy ^¶

_{dz d}

^µ _dz ^¶

_{1 d 2}

^{~v · ~a =}

dt dt

₊

^{dt dt dt}

₊

^{dt dt dt dt}

_{= ~v .}

^{2 dt}

Так как масса dm = ρ dV элемента объема сохраняется, то, оче- видно, что

^{Z Z Z}

_V

~a · ~vρ dV dt =

^{Z Z Z}

_M

^µ _v^{2 ¶}

_d

²

dm = d

^{Z Z Z}

_M

_v²

_{dm = dE,}

²

где, по определению,

Z Z Z

E =

_V

ρ~v ²

2

dV (6.2)

есть кинетическая энергия объема V сплошной среды.

_{Работа внутренних и внешних массовых сил.}

_{Массовые силы F}^~

_{можно разбить на две группы:}

_F^{~ (i)} _и

_F^{~ (e)}

внутренние и внешние по отношению ко всему объему V . Тогда

^{Z Z Z}

_{ρF~ ·d~r dV =}

^{Z Z Z}

_{ρF~ (e) ·d~r dV +}

^{Z Z Z}

_{ρF~ (i) ·d~r dV = dA (e) +dA (i),}

V V V

m m

_(6.3)

_{где dA (e) и dA (m) элементарные работы внешних и внутренних по}

_{m m}

отношению к объему V массовых сил, действующих на этот объем, при бесконечно малом перемещении.

Отметим, что сумма всех внутренних массовых сил, действующих на весь объем V (с учетом сил инерции), всегда равна нулю, однако работа этих сил может отличаться от нуля.

Внося компоненты вектора скорости v_i под знак ковариантной производной ∇_j и используя правило (2.79) ковариантного диффе- ренцирования произведения тензоров, запишем последний интеграл в выражении (6.1) в виде разности двух следующих интегралов:

^{Z Z Z}

V

(∇_j p^ij )v_i dt dV =

^{Z Z Z}

V

∇_j (p^ij v_i) dt dV −

^{Z Z Z}

V

p^ij ∇_j v_i dt dV. (6.4)

Для преобразования первого интеграла справа в (6.4) воспользу- емся теоремой Гаусса-Остроградского, а для преобразования второго используем очевидное тождество

_{1 1}

^{∇j vi =} ₂ ^{(∇j vi + ∇ivj ) +} ₂ ^{(∇j vi − ∇ivj ) = eij + ωij .}

В результате получим

^{Z Z Z}

(∇_j p^ij )v_i dt dV = (6.5)

V

^ZZ

= ⊂⊃ p^ij v_in_j dσ dt −

Σ

^{Z Z Z}

V

p^ij e_ij dt dV −

^{Z Z Z}

V

p^ij ω_ij dt dV,

где Σ поверхность, ограничивающая объем V , а n_j ковариантные компоненты единичного вектора нормали к Σ, внешнего по отноше- нию к объему V .

Заметим, что в силу кососимметричности тензора ω_ij~e ⁱ~e ^j верны равенства

p^ij ω_ij = p^ij ω_ij + p^ji ω_ji = (p^ij -p^ji ) ω_ij (6.6)

[i<j]

[i<j]

Поэтому в классическом случае, когда тензор напряжений сим- метричен (p^ij = p^ji), последний интеграл в (6.5) равен нулю.

_{Работа внешних поверхностных сил.}

^{Так как pij n}_j^~e_i ^{= p~}_n^{, то можно записать}

ZZ

⊂⊃ p^ij v_in_j dσ dt =

ZZ

_пов

⊂⊃ p~_n · d~r dσ = dA ^(e)

(6.7)

Σ Σ

_пов

_{где dA} ^(e)

_{обозначает работу внешних поверхностных сил, действую-}

щих на поверхности Σ выделенного объемы V , при бесконечно малых перемещениях d~r = ~v dt точек поверхности Σ.

_{Определение работы внутренних поверхностных сил.}

Второй интеграл в правой части (6.4), являющийся инвариантной величиной, по определению называется работой внутренних поверх- ностных сил напряжений в объеме V :

Z Z Z

_пов

− p^ij ∇_j v_i dt dV = dA ⁽ⁱ⁾ . (6.8)

V

_{Теорема живых сил для конечного объема сплошной среды.}

_{Таким образом, равенство (6.1)}

^{Z Z Z}

V

ρ~a · ~v dt dV =

^{Z Z Z}

V

ρF^~ · d~r dV +

^{Z Z Z}

V

(∇_j p^ij )v_i dt dV

можно записать в виде

_{dE = dA (e) + dA (i) + dA (e) + dA (i) , (6.9)}

m m пов

пов

т.е. для некоторого действительного движения дифференциал кине- тической энергии конечного индивидуального объема сплошной сре- ды равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутрен- них массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхност- ных сил, действующих на этот объем. Это утверждение носит на- звание теоремы живых сил применительно к конечному объему де- формируемой среды.

Нужно иметь в виду, что в теореме живых сил (6.9) dE является полным дифференциалом функции E кинетической энергии объема

_{сплошной среды, а остальные члены dA (e), dA (i), dA (e)}

_{и dA (i) в}

_{m m пов}

_пов

общем случае есть элементарные работы соответствующих сил на системе непрерывных бесконечно малых перемещений

d~r = ~v dt,

определенных в каждой точке сплошной среды.

Выражение для работы внутренних поверхностных сил в случае симметричного тензора напряжений.

Из (6.4), (6.5) и (6.6) видно, что выражение для работы внутрен- них поверхностных сил можно записать в виде

(i)

dA_пов = −

^{Z Z Z}

V

_pij

e_ij dt dV −

^{Z Z Z}

V

_pij

ω_ij dt dV, (6.10)

или в случае симметричного тензора напряжений в виде

^{Z Z Z}

(i)

dA_пов = −

_pij

e_ij dt dV. (6.11)

V

Как известно, в трехмерном пространстве кососимметрического тензору ω_ij всегда можно поставить в соответствие аксиальный век-

_{тор ω~}

_{вектор вихря скорости. Таким образом, из вышесказанного}

следует, что наличие вихрей в движущейся сплошной среде в слу- чае симметричного тензора напряжений (в частности, при отсут- ствии внутренних моментов количества движения и внешних мас- совых и поверхностных пар) не оказывает непосредственного влия- ния на величину элементарной работы внутренних поверхностных сил и, следовательно, на изменение кинетической энергии.

ды.

Теорема живых сил для бесконечно малого объема сплошной сре-

_{Запишем теперь теорему живых сил для бесконечно малого объе-}

ма сплошной среды. Для этого применим теорему о среднем значении ко всем интегралам (6.2), (6.3) и (6.4), входящим в равенство (6.9), выражающее теорему живых сил для конечного объема, разделим результат на массу объема M и перейдем к пределу при V → 0. Получим

dv²

^ρ

2

= F^~ · d~r +

₁

¹

^ρ

^∇_j ^{(pij v}_i^{) dt −}

p^ij ∇_j v_i dt. (6.12)

Величину v²/2 можно назвать плотностью кинетической энергии,

¹

_{а величины в правой части (6.12), а именно}

_{F~ · d~r, ∇ (pij v ) dt}

_ρ ^{j i}

_{и −} ¹ _{pij ∇ v}

_{dt плотностями работы массовых и поверхностных}

_ρ ^{j i}

_{внешних и внутренних сил.}

В теорему живых сил для бесконечно малого объема сплошной среды не входит элементарная работа внутренних массовых сил, так как она во всех известных случаях стремится к нулю при V → 0.

Таким образом, теорема живых сил, справедливая для каждой бесконечно малой частицы, формулируется так: в каждой точке сплош- ной среды дифференциал плотности кинетической энергии равен

сумме плотностей элементарных работ внешних массовых, внеш- них поверхностных и внутренних поверхностных сил, действую- щих на эту среду.

Как видно, теорема живых сил есть непосредственное следствие уравнений импульсов и представляет собой уравнение баланса меха- нической энергии. Теорема живых сил имеет энергетическую приро- ду, но это соотношение не является в общем виде законом сохране- ния энергии. Его можно трактовать как закон сохранения энергии (в рамках механической постановки задач) только в случае, когда механическая энергия рассматриваемой системы не переходит в теп- ловую или другие виды энергии. Заметим, что в этом случае общий закон сохранения энергии распадается на два: законы сохранения механической и немеханической энергий в отдельности.

_{Выведим выражения для плотности работы внутренних поверх-}

^dA

_{ностных сил} ¹

^dm

_(i)

пов

в некоторых частных случаях. Имеем:

dA ⁽ⁱ⁾

_{1 ij}

_dm ^{пов = −p}

₁

^{∇j vidt = −} _ρ

_pij

e_ij dt −

¹ _p^ij

^ρ

ω_ij dt =

_{1 ij}

^{= −} _ρ ^p

_{1 ij}

^{eij dt −} _ρ ^(p

_-pji

) ω_ij dt.

[i<j]

Если среда движется как твердое тело, то все e_ij = 0 и

dA ⁽ⁱ⁾

_{1 1}

_{пов = −}

_(p^ij

_-p^ji

_{) ωij dt.}

^{dm ρ}

[i<j]

Если тензор напряжений несимметричен (p^ij = p^ji), то при движе- нии среды как абсолютно твердого тела работа внутренних поверх- ностных сил может отличаться от нуля так как угловая скорость ω~ и, следовательно, ω_ij могут не равняться нулю (при вращении).

_{Если тензор напряжений симметричен, то верно равенство}

(i)

_{1 1}

_dm ^{dAпов = −} _ρ

_pij

e_ij dt, (6.13)

то есть в этом случае работа внутренних поверхностных сил обу- словлена, вообще говоря, деформациями. Если среда с симметрич- ным тензором напряжений движется как абсолютно твердое тело, то работа внутренних поверхностных сил в ней всегда равна нулю.

Плотность работы внутренних поверхностных сил в случае иде- альной жидкости.

Для идеальной среды p^ij = −pg^ij , поэтому

₁

(i)

dA_пов =

^dm

^p _g^ij

^ρ

e_ij dt =

^p _i·

^e

ρ ^·i

dt =

^p _{div ~v dt. (6.14)}

^ρ

Теорема живых сил и работа внутренних поверхностных сил 69

Заменяя div ~v с помощью уравнения неразрывности, получим

(i)

₁

_dm ^{dAпов = −}

p dρ ρ² dt

₁

_{dt = p d}

^ρ

= p dV, (6.15)

_{где V удельный объем.}

Для бесконечно малой частицы идеальной среды теорема живых сил в областях непрерывного движения имеет вид

_v² ₁

_{d =}

^{2 dm}

m

_dA (e) ₊

¹ _dA ^(e) _{+ p d} ¹ ₌

_пов

^{dm ρ}

^ρ

k

= F^{~ (e)} · ~v dt − ¹ ∇

_(pv^k _{) dt + p d} ¹ _{. (6.16)}

^ρ

Полезно отметить, что при движении сплошной среды относи- тельно фиксированной подвижной или неподвижной системы коор- динат величина плотности работы внутренних сил вообще говоря не равняется с обратным знаком плотности работы всех внешних по- верхностных и массовых сил.

70 Глава 7. МГД модель течений проводящего газа и солнечный ветер