Глава 7. Магнитогидродинамическая модель течений проводящего газа и моде- ли солнечного ветра

7.1. Уравнения магнитной гидродинамики

_{Уравнения электродинамики.}

Все тела в природе состоят из элементарных частиц, которые могут обладать электрическим зарядом и взаимодействовать между собой посредством электромагнитного поля. Хотя электромагнитное поле и его изменение связаны с движением заряженных частиц, оно обладает некоторой самостоятельностью и подчинено своим, прису- щим только ему, закономерностям и может рассматриваться как са- мостоятельный материальный объект.

В каждой точке пространства и в каждый момент времени элек- тромагнитное поле задается двумя векторами: напряженностью элек- трического поля E и напряженностью магнитного поля B.

^ґ

Сила, с которой электромагнитное поле действует на частицу, имеющую заряд e и движущуюся со скоростью v, может быть най- дена по формуле

_{F = e} ^і_{E +} ^v _{× B}

_{, (7.1)}

_c

где E и B напряженности электрического и магнитного полей в рассматриваемой точке пространства, когда пробный заряд в этой точке отсутствует, и c константа, равная скорости распространения света в пустоте c = 3 · 10¹⁰ см/с.

Мы будем рассматривать движение не одной частицы, а огромно- го числа заряженных частиц сплошной среды. При этом нас будут интересовать только средние характеристики такого движения.

Вычислим силу, с которой электромагнитное поле действует на физически бесконечно малый объем среды ∆τ , размер которого мал по сравнению с характерной длиной задачи, но, одновременно, до- статочно велик для возможности осреднения по этому объему.

Суммируя (7.1) по всем частицам и считая E и B постоянными по объему ∆τ , получим для искомой силы выражение

₁

F = ^X e_αE +

^c

α

^X e_αv_α × B, (7.2)

α

где v_α скорость частицы и суммирование производится по всем частицам внутри объема ∆τ .

Если ввести величины

^{P e}_α

^P e_α v_α

ρ_e =

^α _{, j =} ^α

^{∆τ ∆τ}

, (7.3)

которые называются соответственно плотностью заряда и плотно- стью тока, то с учетом (7.2) плотность силы f = F/∆τ имеет вид

¹

f = ρ_e E + _c (j × B) . (7.4) При изучении изменения и свойств электромагнитного поля поль- зуются системой уравнений Максвелла. В интегральной форме эта

_{система имеет вид}

^I _4π

₁ ^{Z Z}

_∂En

^{B · dl =} _c ^{I +} _c

_{L Σ}

_dΣ,

^∂t

_(7.5)

^I ₁ ^{Z Z}

^{E · dl = −} _c

L Σ

^∂Bn _dΣ,

^∂t

где L контур, на который натянута поверхность Σ и который по- коится в выбранной системе координат, I суммарный ток, проте- кающий через Σ и равный

^{Z Z}

I = j_n dΣ.

Σ

Индекс n означает нормальную составляющую вектора, причем направление нормали к поверхности выбирается так, чтобы направ- ление обхода при интегрировании по контуру L и направление нор- мали образовывали правую систему координат.

К уравнениям Максвелла относятся также следующие два соот- ношения

^ZZ

⊂⊃ E_n dΣ = 4πθ,

_Σ

^ZZ

⊂⊃ B_n dΣ = 0,

Σ

(7.6)

_{где θ =} Z

_τ

ρ_e dτ заряд, заключенный внутри поверхности Σ, огра-

_{ничивающей объем τ .}

Уравнения Максвелла являются обобщениями опытных фактов и представляют собой фундаментальные постулаты электродинами- ки. Правильность этих постулатов проверена тем, что все выводы, следующие из (7.5), согласуются с известными экспериментальными данными.

Если все функции, входящие в уравнения (7.5) и (7.6), диффе- ренцируемы, то эти уравнения можно записать в дифференциальной форме:

_{rotB =}

_{4π 1 ∂E}

_{j +}

_{; rotE = −}

1 ∂B

_{; (7.7)}

^{c c ∂t}

^{c ∂t}

divE = 4πρ_e ; divB = 0. (7.8)

Соотношения на разрывах, следующие из уравнений Максвелла. Если функции, входящие в уравнения (7.5) и (7.6), терпят разрыв на некоторой поверхности, покоящейся в выбранной системе координат,

_{то, предполагая, что E, B, ,} ^∂E

_и ^∂B

_{ограничены выведем соотно-}

_{шения, которым должны удов}^∂_ле^t _твор^∂_я^t_{ть компоненты электрического}

_{и магнитного полей при переходе через поверхности разрыва.}

Выберем систему координат, в которой поверхность разрыва по- коится. Пусть Σ поверхность разрыва, n нормаль к поверхности разрыва, ~τ и χ~ единичные координатные векторы в плоскости раз-

рыва. Выберем замкнутый контур l в плоскости, нормальной к так, как указано на рис. 1.7.1.

χ~ ,

Рис. 1.7.1. Контур l в плоскости n, ~τ , секущей поверх- ность Σ перпендикулярно вектору χ~

Примем этот контур и ограниченную им часть плоскости n, ~τ за контур и поверхность, фигурирующие в уравнениях Максвелла (7.5). Тогда, если контур настолько мал, что в его пределах подынтеграль- ные функции в (7.5) можно считать постоянными с каждой стороны

от поверхности разрыва, и если h/l ї 1, то после применения теоре- мы о среднем значении получим

^ _4π

_{1 ∂Eχ}

^(B_{τ 1} ^{− B}_{τ 2}^{)l =}

_{Iχ +}

_{c c}

_{1 ∂Bχ}

_lh,

^∂t

^{(Eτ 1 − Eτ 2)l = −} _c

_lh.

^∂t

где I_χ ток, текущий по поверхности разрыва в направлении χ~ , а разность компонент B_τ и E_τ в левой части этих соотношений явля- ется результатом различных направлений обхода контура l в состо- яниях 1 и 2: вдоль вектора ~τ в состоянии 1 и в противоположном направлении в состоянии 2 (рис.1.7.1).

_{Отсюда, переходя к пределу при h → 0 и считая, что} ^∂E

_и ^∂B

ограничены, а i

l = lim I

(i величина, называемая

_{∂t ∂t}

χ χ χ

плотностью

_{тока в}

поверхностного

h→0 _{направлении}

χ~ ), найдем

^

^B_{τ 1} − B_{τ 2} =

_4π

i_χ, c

^E_{τ 1} ^{− E}_{τ 2} ^{= 0.}

Проделав ту же операцию в плоскости n, χ~ , получим

^c

_4π

^B_χ1 ^{− B}_χ2 ⁼

ⁱ_τ ^{; E}_χ1 ^{− E}_χ2 ^{= 0.}

Эти две группы соотношений можно объединить в одну группу со- отношений, которым должны удовлетворять проекции векторов на- пряженности полей на плоскость, касательную к поверхности разры- ва, при переходе через поверхность разрыва:



^B_t1 − B_t2 =

_4π

^×

(i n), c

(7.9)

^E_t1 ^{− E}_t2 ^{= 0.}

Здесь B_t и E_t проекции соответствующих векторов на плос- кость разрыва, а i вектор плотности поверхностного тока: i = i_τ ~τ + i_χ χ~ .

Заключим теперь некоторый кусок поверхности разрыва внутрь призмы высотой h с основаниями Σ, параллельными поверхности разрыва (рис.2.7.1).

Принимая поверхность призмы за замкнутую поверхность, фигу- рирующую в уравнениях Максвелла (7.6), и считая призму настолько малой, что в ее пределах можно считать подынтегральные функции

Рис. 2.7.1. Объем V с высотой h, охватывающий по- верхность разрыва Σ

_{постоянными с обеих сторон от поверхности разрыва, а высота приз-}

_√

мы много меньше размера основания (h/

_{Σ ї 1), получим}

⁽_{(En1 − En2)Σ = 4πθ,}

^(B_n1 ^{− B}_n2^{)Σ = 0.}

_{Переходя к пределу при h → 0 и вводя обозначение lim θ = ϑΣ}

h→0

_{(ϑ величина, называемая поверхностной плотностью заряда}

_{), най-}

дем

(E_n1 − E_n2 = 4πϑ, B_n1 − B_n2 = 0.

(7.10)

Таким образом, на поверхностях разрыва компоненты электриче- ского и магнитного полей должны удовлетворять условиям (7.9) и (7.10). Эти условия непосредственно следуют из интегральных пред- ставлений уравнений Максвелла (7.5) и (7.6) в случае разрывных электрических и магнитных полей и их выполнение необходимо для существования поверхности разрыва.

Вторые условия в соотношениях (7.9) и (7.10) сводятся к услови- ям непрерывности касательной составляющей электрического поля и нормальной компоненты магнитного поля при переходе через по- верхность разрыва и обычно записываются в виде:

[E_τ ] = 0; [B_n] = 0, (7.11)

где квадратные скобки обозначают скачок соответствующей величи- ны на поверхности разрыва (разность ее значений по разные стороны

поверхности разрыва), а E_τ и B_n общепринятые обозначения тан- генциальной (касательной) компоненты электрического поля и нор- мальной компоненты магнитного поля. Два других соотношения в (7.9) и (7.10) служат для определения плотностей поверхностного тока и поверхностного заряда.

_{Законы сохранения в интегральной форме.}

Уравнения движения сплошной среды получаются из законов со- хранения массы, количества движения и энергии, которые в инте- гральной форме имеют вид

_d ^{Z Z Z}

_d ^{Z Z Z}

dt

τ

^ZZ

ρ dτ = 0 (7.12)

Z Z Z

_d ^{Z Z Z}

dt

τ

^µ _v^{2 ¶}

ρv dτ =

ZZ

^{⊂⊃ p}_n ^{dΣ +}

Σ ^τ

^ZZ

f dτ (7.13)

Z Z Z

_{ρ ε +}

^{dt 2}

^{dτ = − ⊂⊃ q}_n ^{dΣ + ⊂⊃ p}_n ^{· v dΣ +}

^{A dτ}

^τ Σ Σ

_τ

_(7.14)

Здесь v скорость сплошной среды, равная скорости центра инерции частиц, находящихся в физически бесконечно малом объ- еме в окрестности рассматриваемой точки; τ жидкий объем, т.е. объем, ограниченный поверхностью Σ, движущейся в направлении нормали со скоростью v_n; ρ плотность среды, т.е. сумма масс всех частиц, находящихся в физически бесконечно малом объеме, отне- сенная к величине этого объема; q_n поток тепла через поверхность Σ, т.е. поток энергии через жидкую поверхность, который возни- кает за счет переноса энергии молекулами, пересекающими данную поверхность, а также за счет работы сил межмолекулярного взаи- модействия; p_n плотность поверхностных сил, равная с обратным знаком потоку импульса через жидкую поверхность, который воз- никает за счет переноса импульса молекулами, пересекающими дан- ную поверхность, а также за счет сил межмолекулярного взаимо- действия; ρε внутренняя энергия единицы объема среды, т.е. сум- ма кинетической энергии хаотического движения и потенциальной энергии взаимодействия частиц, находящихся в данном объеме; f плотность внешних объемных сил; наконец, A представляет собой разность полного притока энергии к выделенному объему и притока энергии за счет потока тепла через его поверхность и за счет работы поверхностных сил.

Если в качестве объемных сил рассматривать силы воздействия электромагнитного поля на среду, то плотность внешних объемных сил можно записать в виде (см. выше (7.4))

¹

f = ρ_eE + _c (j × B), (7.15) где ρ_e плотность зарядов, j электрический ток, а E и B на- пряженности электрического и магнитного полей.

В дальнейшем под A будем понимать приток энергии за счет внешнего электромагнитного поля:

_{A = E} ^X _{eαvα = j · E (7.16)}

α

В механике сплошной среды доказывается, что плотность поверх- ностных сил p_n задается тензором напряжений

P^ˆ = {p_ij }, p_ij = p_ji,

при этом p_ij представляет собой напряжение, действующее на пло- щадке, перпендикулярной к e_j , в направлении e_i.

Суммарное напряжение, действующее на площадку, перпендику- лярную к e_j , есть

p_j = p_ij e_i

_{Суммарное напряжение, действующее на площадку Σ с нормалью}

n, равно

p_n = p_j n_j

где n_j проекция n на ось e_j .

Поток тепла через поверхность задается вектором потока тепла q, причем q_n = q·n = q_in_i. Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование.

Выражения для P^ˆ, q и ε задаются таким образом, чтобы совмест- но с ними система (7.12) (7.14) была замкнутой. Эти выражения могут задаваться как из теоретических соображений, так и на осно- вании опытных данных.

В дальнейшем среда считается двупараметрической, т.е. все тер- модинамические величины (например, температура T и внутренняя энергия ε) являются функциями двух параметров: плотности ρ и дав- ления p. При этом тензор напряжений имеет вид

p_ik = −pδ_ik + τ_ik ,

причем компоненты τ_ik тензора вязких напряжений τˆ есть функции

_{ρ, p, B и} ^∂vi _{, такие, что если все} ^∂vi

_{= 0, то напряжения в рас-}

_{сматриваем}^∂_о^x_м^k _{элементе среды должн}^∂_ы^xk_{совпадать с напряжениями в}

равновесном состоянии, т.е. p_ik = −pδ_ik или τ_ik = 0.

_{Как и в обычной гидродинамике, если теплопроводность и вяз-}

кость среды малы, будем полагать, что вектор потока тепла и тензор вязких напряжений равны нулю (идеальная среда):

q = 0, τ_ik = 0. (7.17)

Если теплопроводность и вязкостью среды пренебречь нельзя, то вектор потока тепла и тензор вязких напряжений имеют вид

_{q = −k∇T ,}

τ_ik = µ

^{µ ∂v}_i

∂x_k

₊ ^∂vk

^∂x_i

^{2 ∂v}_m

^{− 3 ∂x}_m

^¶

^δik

_{+ ζ} ^∂vm

^∂x_m

δ_ik .

(7.18)

где T температура, µ и ζ первый и второй коэффициенты вяз- кости и k коэффициент теплопроводности. Во многих случаях µ, ζ и k можно считать постоянными.

Если с помощью формулы Стокса преобразовать в уравнениях (7.12) (7.14) поверхностные интегралы в объемные, то случае непре- рывных подынтегральных функций с помощью формулы Гаусса-Ост- роградского из интегральных уравнений (7.12) (7.14) можно полу- чить следующие дифференциальные уравнения:

^ _dρ

^

^

+ ρ divv = 0, dt

 _{dv 1}

_{ρ = divP}ˆ _{+ ρeE +}

_{(j × B),}

_(7.19)

_{ dt µ 2 ¶ c}

_{d v}

^ρ _dt ^{ε +} ₂

= −div q + div (P^ˆ · v) + E · j.

Эти уравнения называются соответственно уравнениями нераз- рывности, количества движения и энергии (или притока тепла).

Эти уравнения можно преобразовать к так называемому дивер- гентному виду:

⁻

^∂ρ _{= div(ρ v), (7.20)}

^∂t

⁻

^∂G _{= div Π}ˆ _{, (7.21)}

^∂t

⁻

^∂W _{= div S. (7.22)}

^∂t

_{Здесь G = ρ v +} ¹

_4πc

(E × B) плотность полного количества дви-

_{жения, в котором слагаемое} ¹

_4πc

(E ×B) имеет смысл плотности элек-

_{тромагнитного количества движения; Π}^ˆ

^{= {π}_ij ^{} = {ρv}_i^v_j ^{− p}_ij ^{− T}_ij ^}

_{тензор плотности полного потока импульса, в котором тензор T}^ˆ ₌

_{1 1} 2 2

^{{Tij } = {} _4π ^{(BiBj + EiEj ) −} _8π ^(B

^{+ E )δ}_ij ^{} имеет смысл тензора на-}

пряжений электромагнитного поля; W = ρ(ε+(v² /2)+w) плотность полной энергии, в котором слагаемое w = ¹ (B² + E²) имеет смысл

8π

_{плотности электромагнитной энергии; S = s+q−P}^ˆ _{·v+ρv(ε+(v}²_/2))

_{плотность полного потока энергии, в котором вектор s =} ^c

^4π

(E × B)

имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова-Пойнтинга). При преобразовании уравнений количества дви- жения и энергии использовано уравнение неразрывности.

Уравнения (7.20) (7.22), записанные в интегральной форме, име- ют вид

_∂ ^{Z Z Z}

∂t

V

^ZZ

ρ dτ = − ⊂⊃ ρ v_nd Σ, (7.23)

Σ

_∂ ^{Z Z Z}

∂t

V

^ZZ

_{G dτ = − ⊂⊃ Π}^ˆ _{· nd Σ, (7.24)}

Σ

_∂ ^{Z Z Z}

∂t

V

^ZZ

W dτ = − ⊂⊃ S_nd Σ. (7.25)

Σ

Первое из этих уравнений (7.23) выражает тот факт, что изме- нение массы в некотором неподвижном объеме происходит за счет потока массы m = ρ v через границу объема, причем через площад- ку dΣ с нормалью n протекает масса ρ v_nd Σ в единицу времени.

Второе уравнение (7.24) показывает, что изменение полного коли-

чества движения в неподвижном объеме происходит за счет потока импульса через границу объема. При этом плотность потока импуль- са через площадку dΣ с нормалью n задается вектором

Π^ˆ · n = π_ij n_ie_j = (ρv_iv_j − p_ij − T_ij )n_ie_j . (7.26) Первый член в выражении (7.26) связан с притоком импульса

за счет движения жидкости через границу объема, второй связан с переносом импульса за счет внутренних напряжений в среде (если молекулы среды взаимодействуют путем столкновений, то этот член связан с переносом импульса при хаотическом движении молекул). Третий член представляет собой перенос импульса электромагнит- ным полем. Через площадку dΣ с нормалью n в единицу времени протекает поток π_ij n_j dΣ i-той компоненты импульса.

Последнее уравнение (7.25) выражает тот факт, что полное из-

менение энергии в объеме происходит за счет потока энергии через его границу. Плотность потока энергии задается вектором S. Через площадку dΣ с нормалью n в единицу времени протекает количество энергии

S_n = ρ(ε + (v²/2))v_n + q_n − (P^ˆ · v) · n +

^{× ·}

^c _{(E B) n. (7.27)}

^4π

Выписанная выше система (7.19), состоящая из уравнений нераз- рывности, количества движения и притока тепла проводящей сре- ды, не является замкнутой, так как она содержит члены, связан- ные с электромагнитным полем. В качестве законов изменения элек- тромагнитного поля используются рассмотренные ранее уравнения Максвелла. В связи с этим при решении задач о движении проводя- щей среды необходимо пользоваться совместно системой уравнений (7.19) и системой уравнений Максвелла (7.7) и (7.8).

Однако, как можно заметить, и такая комбинированная система уравнений все еще оказывается незамкнутой. Действительно, уравне- ния механики (7.19) определяют движение и все механические (в том числе и термодинамические) характеристики среды, если известно электромагнитное поле. В свою очередь, для однозначного определе- ния электромагнитного поля из уравнений Максвелла (7.7) необхо- димо либо задать плотность тока как функцию координат и времени, либо связать плотность тока с остальными величинами, входящими в уравнение, причем в последнем случае система уравнений механики (7.19), уравнений Максвелла (7.7) и выражение для плотности тока должны рассматриваться совместно.

Соотношение, связывающее плотность тока с остальными вели- чинами, называемое законом Ома (или обобщенным законом Ома), зависит, вообще говоря, от свойств рассматриваемой среды. В элек- тродинамике и магнитной гидродинамике обычно используется про- стейшая форма связи между плотностью тока и напряженностью электрического поля

j⁰ = σE⁰, (7.28)

где j⁰ и E⁰ плотность тока и напряженность электрического поля в системе координат, движущейся вместе со средой (в которой элемент среды покоится); σ величина, называемая проводимостью среды и зависящая от свойств среды.

_{Система уравнений магнитной гидродинамики.}

Из предположения о дифференцируемости всех функций, входя- щих в систему (7.12) (7.14), следует, что эта система будет состоять из уравнения неразрывности

_{уравнения движения}

^∂ρ _{+ div ρv = 0, (7.29)}

^∂t

_∂v

^c

^ρ _∂t ^{+ ρ(v · ∇)v = −∇p + div τˆ +}

¹ j × B + F , (7.30)

уравнения притока тепла

_{µ ¶}

_dT div q + _X τ

_∂vk

_{+ j ·}

₁

E + v × B

(7.31)

m

^{ρcv dt + p div v = −}

_{и уравнения состояния}

k,m

^{km ∂x c}

_где

p = RρT , (7.32)

_{τˆ тензор вязких напряжений, R газовая постоянная и cv}

удельная теплоемкость при постоянном объеме (R = 2k/m_i, c_v =

3k/m_i для полностью ионизованной плазмы).

Эту систему необходимо дополнить обобщенным законом Ома для плотности тока, которое при ω_e τ_e ї 1 принимает вид:

^µ

j = σ E +

₁ ^¶

_c ^{v × B}

, (7.33)

где σ = n_e e²τ_e /m_e электропроводность среды.

_{В магнитной гидродинамике вид тензора напряжений электро-}

_{магнитного поля упрощается, а именно:}

_{1 B2}

^{Tij =} _4π ^{BiBj −} _8π ^{δij . (7.34)}

Систему уравнений (7.29) (7.33) и систему уравнений Максвел- ла (7.7) (7.8) можно упростить, исключив из нее плотность тока j и напряженность электрического поле E. При σ → ∞ (идеальная проводимость), пренебрегая вязкостью, теплопроводностью и токами смещения, можно получить систему уравнений идеальной магнитной гидродинамики

^∂ρ _{+ div ρv = 0;}

_∂t

_{∂v 1}

_{ρ + ρ(v · ∇)v = −∇p +}

_{rotB × B + F ;}

^∂t _d ^µ _p ^¶

_{dt ρ}^γ

^4π

= 0; div B = 0

(7.35)

_∂B

_∂t ^{= rot[v × B].}

где γ = c_p/c_v показатель адиабаты Пуассона, равный 5/3 для пол- ностью ионизованного газа.

_{Последнее уравнение в системе (7.35) называется уравнением ин-}

дукции магнитного поля.

Соотношения на поверхностях разрыва в магнитной гидродина- мике.

Система уравнений (7.35) описывает движение проводящей среды в тех областях, где движение непрерывно. Если в области движения

существуют поверхности разрыва, то решения уравнений (7.35), опи- сывающие движение и поведение магнитного поля в каждой из об- ластей, не содержащих поверхностей разрыва, должны сопрягаться между собой при помощи соотношений на поверхностях разрыва. К последним относятся уравнения (7.9) и (7.10), связывающие величи- ны напряженностей электрического и магнитного полей при перехо- де через поверхность разрыва, а также соотношения, которые мож- но получить из интегральных уравнений движения сплошной среды (7.23) (7.25) и представляющие собой законы сохранения массы, им- пульса и энергии при переходе через поверхность разрыва.

Для вывода этих соотношений в системе координат, связанной с поверхностью разрыва, в качестве объема и поверхности, фигуриру- ющих в (7.23) (7.25), возьмем такие же объем и поверхность, как на рис.2.7.1, и перейдем к пределу при h → 0. Тогда из (7.23) (7.25) получим следующие соотношения:

[ρv_n] = 0, [Π^ˆ · n] = 0, [S_n] = 0, (7.36)

где квадратные скобки, как и в (7.11), обозначают скачок соответ- ствующих величин на поверхности разрыва.

В развернутом виде соотношения (7.36), представляющие собой законы сохранения массы, импульса и энергии при переходе через поверхность разрыва, имеют вид:

^_{[ρv ] = 0,}

^{ n}

[ρv_n · v − P^ˆ · n − T^ˆ · n] = 0,

_(7.37)

_[ρv

^µ _v^{2 ¶}

_{ε + + q}

_{− (Pˆ · v) · n +} ^c

_{(E × B) · n] = 0.}

ⁿ ₂ ⁿ _4π

В магнитной гидродинамике соотношения (7.37) вместе с соотно- шениями (7.11)

[E_τ ] = 0; [B_n] = 0

являются условиями на поверхностях разрыва. С помощью извест- ных выражений для величин, входящих в эти соотношения, они мо- гут быть приведены к виду, удобному для решения той или иной задачи.

7.2. Модели солнечного ветра

_{Введение.}

На основании наблюдений звезд, одной из которых является Солн- це, астрофизики сделали вывод, что звездные атмосферы могут обла- дать самыми различными свойствами. Имеются звезды, атмосферы которых находятся в гидростатическом равновесии. При этом грави- тационная сила притяжения звезды уравновешивается градиентом давления в атмосфере звезды. Атмосферы некоторых звезд находят- ся в непрерывном гидродинамическом расширении, образуя так на- зываемый звездный ветер (пример такого расширения является сол- нечный ветер).

Как же эволюционировали представления об околосолнечном про- странстве, которое по аналогии с Землей естественно назвать сол- нечной атмосферой и которое называется солнечной короной? Такое название возникло в результате наблюдения красочной картины при полных солнечных затмениях.

Практически одновременно независимо друг от друга возникли две модели солнечной короны: гидростатическая (Чепмен, 1959) и ди- намическая (Паркер, 1958). Рассмотрим вначале гидростатическую модель, причем будем пренебрегать магнитным полем, считая его пренебрежимо малым. Кстати сказать, как показывают современные измерения, это далеко не так и магнитное поле играет существенную, если не определяющую, роль в трехмерной структуре солнечной ко- роны. Свидетельством этому служат результаты измерений парамет- ров солнечного ветра и межпланетного магнитного поля, получен- ные на космическом аппарате Улисс , орбита которого лежит вне плоскости эклиптики (плоскостью эклиптики называется плоскость, в которой находится орбита Земли и в непосредственной близости от которой лежат орбиты большинства планет Солнечной системы).

_{Гидростатическая модель звездных атмосфер.}

В предположении, что все параметры зависят только от r рас- стояния до центра звезды (сферическая симметрия) и атмосфера ста-

^{t :}

_{ционарна (параметры не зависят от времени} ^∂

_∂t

_{= 0) из системы}

_{уравнений, состоящей из уравнений неразрывности (7.29) и движе-}

_{ния (7.30) и уравнения состояния (7.32), при B}^~

_{= ~v = 0 в сферической}

_{системе координат с началом в центре звезды будем иметь:}

_dp

_dr ^{= −}

ρGM_∗

r²

, p = RρT , (7.38)

_{где G гравитационная постоянная, M}

_{газовая постоянная.} ∗

масса звезды, и R

^∗

Отметим, что система (7.38) незамкнута, так как состоит из двух уравнений для четырех неизвестных функций от r: p, ρ, T и M . Для определения температуры как функции r можно использовать уравнение притока тепла (7.31), а относительно массы звезды бу-

_{дем предполагать, что, хотя величина M}

_{и является, вообще говоря,}

_{функцией расстояния до центра звезды}^∗_{: M}

_{= M (r) (при изуче-}

_{нии внутреннего строения звезды масса, стоя}∗ _{щая в}∗_{выражении для}

гравитационной силы, есть масса газа в сфере радиуса r и является функцией этого радиуса), для рассматриваемой задачи можно по-

_{ложить M}

_{= const, поскольку имеется в виду верхняя атмосфера}

_{звезды, ма}∗_{сса которой много меньше массы звезды.}

Проинтегрируем вначале дифференциальное уравнение, входя- щее в (7.38), в общем виде, предполагая что T = T (r) некото- рая функция, которая может быть определена из уравнение притока тепла. Для этого подставим в первое уравнение (7.38) плотность ρ из второго уравнения (уравнения Клапейрона). Получим дифференци- альное уравнение с разделяющимися переменными

_dp

_dr ^{= −}

p

RT (r)

GM_∗

r²

, (7.39)

интегрируя которое от точки r = r₀ у основания атмосферы по неко- торого радиального расстояния r, имеем

_r

_Z

_ln ^|p|

^|p₀^|

GM_∗

^{= −} _R

^r₀

^dr

r²T (r)

, (7.40)

где p₀ давление при r = r₀.

_{Исключая из (7.40) давление с помощью уравнения Клапейрона}

_{и потенцируя, получим}

^ _r ^

_GM∗ ^Z _dr

^{ρ(r)T (r) = ρ0T0 exp −} _R

_r²_{T (r)} ^{ . (7.41)}

^r₀

Здесь ρ₀, T₀ плотность и температура при r = r₀.

Из соотношения (7.41) видно, что если температура убывает быст- рее, чем 1/r, то при r → ∞ несобственный интеграл в показателе экс- поненты является расходящимся и произведение ρ(r)T (r) стремится

к нулю при r → ∞. При этом можно считать, что атмосфера звезды плавно переходит в межзвездную среду, в которой давление очень

_{мало (∼ 10}⁻¹² _{÷ 10}⁻¹⁴ _дин/см²_{), т.е. p → 0 при r → ∞ является}

хорошим приближением. Если же температура газа, окружающего

звезду, падает медленнее, чем 1/r, то интеграл в показателе экспо- ненты сходится и давление на бесконечности стремится к конечному пределу, который зависит от величин ρ₀ и T₀ у основания атмосферы звезды.

Поскольку температура должны определяться из уравнения при- тока тепла, то ее зависимость от r: T = T (r) можно найти из (7.31), опустив члены связанные с потерей энергии на излучение. Для мно- гих звезд, включая Солнце, перенос энергии во внешней атмосфере из-за теплопроводности среды превышает потери на излучение, по-

_{этому в гидростатическом пределе (~v = B}^~

₌ ^~_{j = 0) из (7.31) получим,}

что уравнение притока тепла сводится к уравнению div ~q = 0, которое в сферических координатах имеет вид

_d ^µ

_dr ^κr

^{2 dT} ¶ _{= 0, (7.42)}

^dr

_{где κ коэффициент теплопроводности.}

При получении уравнения (7.42) предполагалось, что температу- ра ионов и электронов одинакова, а поток тепла

e

q ≈ q^T = −κ∇T

определяется главным образом теплопроводностью электронов, ко- торая одинакова перпендикулярно и параллельно магнитному полю и следующим образом зависит от температуры:

^κ

^k

^⊥

^e = κ^e = κ ≈ 6 · 10⁻⁷T ^5/2эрг · сек⁻¹см⁻²(^◦K)⁻¹. (7.43)

Интегрируя (7.42) и подставляя зависимость κ = κ(T ) в виде κ = C_κ T ^5/2, где C_κ обозначает размерный коэффициент в (7.43), будем последовательно иметь после первого интегрирования

_dT

_{Cκ T} ^5/2_r²

dr

или после разделения переменных

^{= C}₁^,

_dr

C_κ T ^5/2 dT = C₁ , _r2

_{а после второго интегрирования получим}

₂

^Cκ ₇ ^T

7/2

₁

^{= −C1} _r ^{+ C2.}

Принимая во внимание граничные условия T |_r=r0 = T₀ и T → 0 при r → ∞ (T_∞ ї T₀), получим C₂ = 0, откуда находим зависимость температуры от расстояния

^і

_r0

^{T = T0} _r

^ґ2/7

. (7.44)

Следовательно, в этом случае температура T = T (r) уменьшается медленнее, чем 1/r и из (7.41) и (7.44) получим, что при r → ∞

^p_∞ ^{= Rρ}_∞^T_∞ ^{= Rρ}₀^T₀ ^exp

^· 7GM_∗ ^ё

⁻ _{5Rr T}

. (7.45)

0 0

Формула (7.45) определяет давление p на очень больших рассто- яниях от звезды при заданных значениях параметров у основания атмосферы звезды. Очевидно, что статическая атмосфера существу-

_{ет только в том случае, когда p}

_{, определенное из (7.45), по порядку}

_{величины совпадает с давление}∞_{м p в межзвездной среде.}

_{Если же давление на бесконечности много больше, чем давление}

_{в межзвездной среде (при заданных M , r , ρ}

_{и T ), то такая ста-}

тическая атмосфера не может

_{∗ 0 0 0}

она

существовать и, следовательно,

_{должна непрерывно расширяться и образовывать звездный ветер.}

В принципе, у разных звезд зависимость температуры от рассто- яния T = T (r) может быть различной и, вместе с ней, в соответствии с (7.41), распределение давления p = p(r) в значительной мере опре- деляется механизмом переноса энергии в атмосфере звезды.

Для некоторых классов звезд основными могут быть потери на излучение, а не перенос тепла за счет теплопроводности. Часто в уравнении притока тепла существенными являются источники, свя- занные с диссипацией волн, распространяющихся в верхней атмосфе- ре. Все это приводит к разной зависимости температуры от рассто- яния r для разных классов звезд, а следовательно, возможны как статические атмосферы, так и динамические атмосферы, расширяю- щиеся в среду, окружающую звезду.

Оказалось, что у Солнца давление на бесконечности, определен- ное по формуле (7.45) более чем на два порядка превосходит давление в локальной межзвездной среде. Поэтому атмосфера Солнца должны расширяться и образовывать солнечный ветер.

Гидродинамическая модель расширяющихся звездных атмосфер.

_{Рассмотрим одномерное стационарное сферически симметричное}

_{расширение солнечного ветра, полагая B}^~

_{= 0 и пренебрегая вяз-}

_{костью. Из уравнения неразрывности (7.29) и уравнения движения}

_{(7.30) можно получить}

0

ρur² = ρ₀u₀r² ≡ C ; (7.46)

du dp ρu +

^{dr dr}

₊ ^ρGM∗

^r2

= 0, p = RρT . (7.47)

где u радиальная компонента скорости звездного ветра. Уравне- ние (7.46) представляет собой интеграл уравнения неразрывности,

которое в стационарном случае при наличии сферической симметрии и присутствии только радиальной компоненты скорости принимает вид

^{d Ў}r²ρu^ў = 0, dr

что после интегрирования выражает тот факт, что масса газа, пере- секающего сферический слой радиуса r, является постоянной вели- чиной. По сравнению с (7.38), уравнение (7.47) содержит дополни- тельный член (первое слагаемое), которое представляет собой кон- вективную производную от скорости газа.

Исключим ρ и p из (7.47) с помощью уравнения (7.46) и уравне- ния Клапейрона. Для этого запишем уравнение Клапейрона в виде

_p

T

_{= RT . Обозначим величину RT = a}² _{, где для полностью ионизо-}

ρ

^a

_{ванного газа величина} ²

^T

₌ ^2k _{T равна средней тепловой скорости}

m

_i

_{протонов, которая связана формулой a}2

₁

_{= a}²

_{со скоростью звука}

^r _γp

^T γ ⁰

a₀ =

_{в изэнтропическом газе. Иногда величину aT называют}

_ρ

изотермической скорость звука, поскольку она определяет скорость распространения малых возмущений при T = const. Тогда, выражая плотность из уравнения (7.46)

запишем давление в виде

_ρ0u0r²

_{ρ =} ⁰ _,

^ur2

_{ρ0 u0r2}

^µ _a2 ^¶

T

_{p = ρa}² _≡

_{0 T}

_u ^· _r²

(7.48)

и подставим эти выражения для ρ и p в (7.47). После деления на ρ и

нахождения ^dp dr

из (7.48), получим

_du ^µ

⁻

_{u 1}

^dr

₂ ^¶

^a

⁻

^d

^T _{= r}²

^{u2 dr}

^µ ₂ ^¶

^a

_T

_r^{2 −}

GM_∗

r²

≡ Γ(r). (7.49)

Поведение радиальной скорости как функции расстояния от цен- тра звезды r определяется правой частью уравнения (7.49), т.е. пове- дением функции Γ(r), которое, в свою очередь, определяется реше- нием уравнения притока тепла (7.31) для температуры T .

Поскольку, как было указано выше, механизмы переноса тепла различны для различных звезд, а некоторые источники тепла во- обще трудно записать в явном виде в уравнении (7.31) (например,

источники тепла обусловленные диссипацией волн), то вначале про- анализируем решения уравнения (7.49), считая температуру T (r) за- данной функцией расстояния от центра звезды.

T

_{Изотермическая атмосфера.}

Пусть T = T₀ = const, что соответствует атмосфере звезды с очень высокой теплопроводностью. В этом случае

Γ(r) =

2a²

r

GM

⁻ _r²

^∗ . (7.50)

_{Если у основания атмосферы звезды Γ(r0) < 0, то при u0 < aT ,}

^Ї

_{как видно из (7.49), мы имеем} ^{du Ї}

_dr ^Ї

_{> 0, т.е. газ, вытекающий из}

_{звезды, ускоряется.}

^Їr=r₀

Второй член в (7.50) при T = T₀ (изотермическая атмосфера) убывает быстрее первого. Отсюда следует, что Γ(r) > 0 при r → ∞, т.е. функция Γ(r) меняет знак в некоторой точке r = r_c, в которой

_GM∗

r_c =

T

2a²

. (7.51)

Если мы хотим из всех возможных решений выбрать такое, что

^du

_{> 0 всюду, то необходимо, чтобы в точке r = rc направленная ско-}

_р^d_о^r_{сть движения газа совпадала с его средней тепловой скоростью,}

_{т.е., необходимо, чтобы выполнялось условие uc = aT , т.е. чтобы в}

2

¹

_{уравнении (7.49) и правая часть, и коэффициент} ^µ

₋

^aT ^¶ _при ^du

_u² _dr

одновременно обращались в нуль. Точка r = r_c называется критиче- ской точкой.

_{Решение, для которого всюду} ^du

_{> 0, обычно называется сверх-}

_{звуковым решением для звездного}^dr_{ветра, поскольку uc = aT ≈ a0,}

_{т.е. в критической точке скорость газа почти совпадает со скоростью}

звука, а при r > r_c скорость газа становится сверхзвуковой. Выбор

_{решений, для которых} ^du

c

_{= 0 в критической точке r = r , соответ-}

_{ствует всюду дозвуковом}^dr_{у решению.}

Рассматривая уравнение (7.49), можно высказать несколько более общее утверждение: если температура убывает медленнее, чем 1/r, и у основания атмосферы звезды Γ(r₀) < 0, то в некоторой точке

0

_{r = rc функция Γ(r) меняет знак. Так как обычно u}²

_{ї 2kT0/mi,}

то сверхзвуковому решению соответствует случай, когда u → a_T при

r → r_c .

_{Общий характер интегральных кривых уравнения (7.49) каче-}

ственно изображен на рис. 1.7.2.

Рис. 1.7.2. Интегральные кривые уравнения (7.49)

Сверхзвуковому решению для звездного ветра соответствует кри- вая 1 на рис. 1.7.2. Эта кривая проходит через критическую точку r = r_c, u = u_c = a_T , которая является особой точкой типа седла, и представляет собой сепаратриссу (т.е., вообще говоря, неустойчивое решение!). Решениям для всюду дозвукового истечения из звезды, называемого часто звездным бризом, соответствуют кривые 2.

Решения, представленные кривыми 3 и 4 двузначны, не опреде- лены при всех значениях от r = r₀ до r → ∞ и, следовательно, не имеют физического смысла. Решения, соответствующие кривым 5 и

_{6, начинаются со сверхзвуковой скорости. Такие истечения, вообще}

говоря, возможны для некоторых классов звезд, однако для звезд, подобных Солнцу, большие направленные скорости при r = r_c не наблюдаются (хотя, для некоторых классов звезд, возможна сверх- звуковая аккреция межзвездного вещества на звезду).

_{Таким образом, будем считать, что физически реальными могут}

_{быть либо звездный ветер (кривая 1), либо звездный бриз (кривые 2).}

^{Заметим, что для звездного бриза в точке r = r}_c^{, где Γ(r}_c ^{) = 0,}

_{имеет место равенство} ^du

_{= 0. При этом в этой точке u < a}

_{. Ско-}

рость

u не может превы^drсить значения a

T

для

r > r_c

T

, поскольку в

_{этом случае} ^du

_dr ^{→ −∞}

, если u → a_T

, т.е. скорость u стремится к

_{нулю. Отсюда следует, что для звездного бриза u → 0 при r → ∞.}

Можно показать, что для такого потока с уменьшающейся ско- ростью давление на бесконечности должно быть отлично от нуля

^p

^∞

( = 0).

_где

Действительно, проинтегрируем уравнение (7.47) от r = r_c до r:

p = p(r_c) exp[−I₁(r) + I₂(r)],

_r

_GM∗ ^Z _dr

_r

₁ ^Z _{u du}

^I₁^{(r) =}

_{R r}²_{T (r)} ^{, I2 (r) = −} _R

^r_c ^r_c

dr. T (r) dr

При более медленном, чем 1/r, уменьшении температуры инте- грал I₁(r) имеет конечное значение и положителен. Интеграл I₂(r)

_{также положителен, так как} ^du _{< 0 при r > r . Отсюда следует, что}

_dr ^c

для звездного бриза имеем отличное от нуля давление при r → ∞. Для звездного же ветра всюду ^du > 0 и, следовательно, плотность ρ,

согласно уравнению (7.46), _dr

я по крайней мере как 1/r².

уменьшаетс

_{Поэтому для решения типа звездного ветра p → 0 при r → ∞.}

Таким образом, если температура T (r) уменьшается медленнее, чем 1/r, то единственным возможным стационарным состоянием ат-

_{мосферы звезды, окруженной вакуумом (p}

_{= 0), является сверхзву-}

_{ковое расширение на больших радиальны}∞_{х расстояниях от звезды.}

_{Если же имеется внешнее давление (p}

_{вой звездный бриз.} ∞

= 0), то возможен дозвуко-

Когда температура падает быстрее, чем 1/r, то, как было отме- чено выше, возможно существование статического равновесия.