Глава 8. Модель стационарных течений иде- альной несжимаемой жидкости

8.1. Плоское безвихревое движение

_{Введение.}

Движение жидкости называется плоским, если все частицы, ле- жащие на одном и том же перпендикуляре к некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движение, параллельное этой плоско- сти. Очевидно, что в этом случае движение будет двумерным и до- статочно рассматривать движение в плоскости Oxy, принимая за нее плоскость, параллельно которой совершается движение.

Говоря в дальнейшем о потоке жидкости через некоторую кривую в плоскости Oxy, мы будем под ним понимать поток через цилиндри- ческую поверхность, для которой данная кривая служит направля- ющей, образующие параллельны оси Oz и высота равна единице.

_{Функция тока.}

Не делая пока предположения об отсутствии вихрей в жидкости, можно показать, что уже уравнение неразрывности само по себе на- лагает на поле скоростей некоторое условие, которое в плоском дви- жении поддается простому кинематическому истолкованию. В самом деле, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид

^∂vx ₊ ^∂vy

_{= 0 или иначе} ^∂vx

^∂(−v_y ⁾

_{= . (8.1)}

^{∂x ∂y}

^{∂x ∂y}

_{Если взять дифференциальное уравнение линий тока}

_{dx dy}

₌

^v_x ^v_y

или − v_y dx + v_xdy = 0,

то уравнение неразрывности (8.1) показывает, что левая часть по- следнего уравнения представляет собой полный дифференциал (в случае неустановившегося движения время t может рассматриваться как параметр) некоторой функции ψ

dψ = 0 (8.2)

так что

v_x =

_∂ψ

⁻ y

_{, v =}

^∂y

^∂ψ _(8.3)

^∂x

Функция ψ(x, y) называется функцией тока, так как на каждой линии она сохраняет постоянное значение ψ(x, y) = C , которое, во- обще говоря, является различным для различных линий тока.

Рис. 1.8.1. Вычисление потока жидкости через дугу AB

Если между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) провести кривую (см. рис. 1.8.1), то нетрудно видеть, что поток жидкости через эту кривую выразится разностью значений функции тока в точках A и B, независимо от формы кривой. В самом деле

_(A)

^Z

v · n ds =

(B)

_(A)

^Z

_(A)

^Z

^[v_x ^{cos(n[, x) + v}_y ^{cos(nd, y)] ds =}

(B)

_(A)

^Z

=

(B)

(v_x sin θ − v_y cos θ) ds =

_(A)

^Z

(B)

−v_y dx + v_x dy =

=

(B)

dψ = ψ(x₁, y₁) − ψ(x₂, y₂), (8.4)

_{где θ означает угол между ds и Ox.}

Легко найти также выражения для вихря скорости через функ- цию тока. Согласно определению вихря имеем

Ω_x =

Ω_y =

_∂vy

^∂v_z

_∂y ⁻

^∂v_x

_∂z ⁻

_∂vx

^∂vy _{= 0,}

^∂z

^∂vz _{= 0,}

^∂x

_∂²_ψ

_∂²_ψ

^Ω_z ⁼

_∂x ⁻

_{= .}

^{− −}

^{∂y ∂x2 ∂y2}

Отсюда следует, что в случае плоского безвихревого движения функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа

_∂2ψ

_∂2ψ

_∂x2 + _∂y2 = 0. (8.5)

_{Связь функции тока с потенциалом скорости.}

_{При существовании в плоском движении потенциала скорости ϕ}

_{справедливы равенства}

v_x =

_∂ϕ

_{, vy =}

^∂x

_{, (8.6)}

^∂ϕ

^∂y

_{сравнивая которые с (8.3), получаем}

_{∂ϕ ∂ψ}

_{= ,}

^{∂x ∂y}

_{∂ϕ ∂ψ}

_∂y ^{= −} _∂x

(8.7)

_{или иначе после перемножения этих равенств}

∂ϕ ∂ψ

_{∂ϕ ∂ψ}

₊

_{= 0. (8.8)}

^{∂x ∂x}

^{∂y ∂y}

Последнее соотношение показывает, что каждая кривая семей- ства ϕ = const пересекается под прямым углом с любой кривой се- мейства линий ψ = const, другими словами, линии тока являются ортогональными траекториями семейства эквипотенциальных ли- ний.

_{Комплексная скорость и комплексный потенциал.}

Соотношения (8.7), выражающие связь между функциями ϕ и ψ, есть не что иное, как известные условия Коши-Римана, необходимые и достаточные для того, чтобы комплекснозначная функция w = ϕ + iψ была бы аналитической функцией комплексного аргумента z = x + iy:

w = ϕ(x, y) + iψ(x, y) = f (z), (8.9)

и, значит, функция f (z) имела бы определенную производную

_{dw ∂ϕ ∂ψ}

_{= + i}

^{dz ∂x ∂x}

_{∂ϕ ∂ϕ}

⁼ _∂x ^{− i} _∂y

. (8.10)

Последняя формула показывает, что производная dw/dz тесно связана со скоростью

^dw

_dz ^{= vx − i vy . (8.11)}

Это позволяет привлечь аппарат теории функций комплексного переменного для решения плоских задач теории течений несжимае- мой идеальной жидкости.

_{Комплексные числа}

v = v_x + iv_y и

v¯ = v_x − iv_y (8.12)

можно изобразить в виде векторов v и v¯, как показано на рис. 2.8.1 (при этом действительную единицу +1 и мнимую единицу i мы

рассматриваем как единичные векторы (орты) осей Ox и Oy, соот- ветственно).

y

^vy ^v=v_x ^+iv_y

i Θ _vx

-v_y

₊₁ ^x

v^- =v_x -iv _y

Рис. 2.8.1. Плоскость комплексного потенциала скорости

В соответствии с (8.11) модуль dw/dz дает величину скорости:

_dw Ї _dw Ї

_{= v}x _{− iv}y _{= v¯,}

^{Ї Ї} ₌ ^q_{v2 + v2 = |v|. (8.13)}

_dz ^Ї _dz ^Ї _{x y}

^{Ї Ї}

_{На основании этих соотношений функция w = ϕ + iψ называется}

^{комплексным потенциалом, a v¯ = v}_x ^{− iv}_y ^{комплексной скоростью.}

Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций ком- плексного переменного.

Соотношение (8.9) показывает, что каждый определенный выбор функции f (z) дает определенную систему линий тока ψ = const и эквипотенциальных линий ϕ = const и, значит, устанавливает опре- деленную кинематическую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций ϕ и ψ). Таким образом, кинематическое изучение плоского движения несжимаемой жидко- сти теснейшим образом связано с теорией функций комплексного пе- ременного, и можно заранее ожидать, что многие положения этой развитой ветви математического анализа найдут свои гидродинами- ческие истолкования.

_{Примеры комплексного потенциала.}

1. Функция w = az при вещественном a. Имеем:

ϕ + ψ = ax + iay,

откуда заключаем, что линии тока

ψ = ay = const

есть прямые, параллельные оси Ox; эквипотенциальные линии

ϕ = ax = const

есть прямые, параллельные оси Oy; скорость во всем поле течения постоянна и при a > 0 направлена вдоль оси Ox (рис. 3.8.1):

v_x = a, v_y = 0.

Такой поток назовем однородным поступательным. Легко ви- деть, что при комплексном a (a = α + iβ) характер течения сохра- нится, изменится лишь направление скорости, которая изобразится вектором α − iβ.

Рис. 3.8.1. Линии тока и линии равного потенциала однородного поступательного потока

2. Функция w = A · z^a, где A и a некоторые действительные постоянные. Так как z можно представить в виде z = re^iθ , то

w = Ar^a e^iaθ = Ar^a(cos aθ + i sin aθ)

_{и следовательно}

_{ϕ = Ar}^a _{cos aθ, ψ = Ar}^a _{sin aθ,} ⁾

v_r =

_∂ϕ

_{= aAr}

^∂r

a−1

_{1 ∂ϕ}

^{cos aθ, vθ =} _{r ∂θ} ^{= −aAr}

a−1

sin aθ.

(8.14)

_{Если положить a =} ^π _{, то}

^α

v_θ = 0 при θ = 0 и θ = α. (8.15) Таким образом, рассматриваемый комплексный потенциал

π

_{w = A · z} ^α _(8.16)

описывает поле скоростей течения внутри угла при α < π и вне него при α > π (см. рис. 4.8.1).

Отметим, что

_{lim vr = 0 при α < π и lim vr = ∞ при α > π. (8.17)}

^r→0

^r→0

_α<π ^α>π

_α

_α

Рис. 4.8.1. Течение внутри и вне угла α

3. Функция w = A ln z, где A некоторая действительная посто- янная. Вводя в рассмотрение модуль r и аргумент θ для комплексной переменной

получим

z = r(cos θ + i sin θ),

ϕ + iψ = A ln(re^iθ ) = A ln r + iAθ

откуда заключаем, что линии тока есть прямые θ = const, лучеоб- разно исходящие из начала координат; эквипотенциальные кривые представляют собой окружности r = const с центром в начале (см. рис. 5.8.1).

Рис. 5.8.1. Линии тока и линии равного потенциала источника

Поскольку потенциал скорости ϕ = A ln r, то

v_r =

_{∂ϕ A}

^r

_∂r ^{= , vθ ≡ 0}

и интеграл от v_r по окружности радиуса r с центром в начале коор- динат дает величину потока жидкости через эту окружность. Этот

интеграл имеет постоянную величину m и не зависит от радиуса r:

I

v · dl =

_2π

^Z

v_r r dθ =

0

_2π

^Z _A

_r ^{· r dθ = 2πA ≡ m,}

0

откуда A = m/2π и комплексный потенциал может быть записан в виде w = ^m ln z. В этом случае при m > 0 можно считать, что из начала к²о^πординат вытекает каждую секунду некоторое количе-

ство жидкости m; такую точку принято называть источником; если m < 0, то поток жидкости направлен противоположно и в начале ко- ординат происходит ее поглощение, такая точка называется стоком.

_{Выражение для комплексной скорости}

_{dw 1}

₌

^{dz z}

показывает, что в этом случае начало координат является особой точкой, именно, логарифмической для комплексного потенциала и простым полюсом для комплексной скорости.

4. Функция w = iB · ln z, где B некоторая действительная по- стоянная. Тогда

w = iB ln(re^iθ ) = iB(ln r + iθ) = −Bθ + iB ln r (8.18)

_{и следовательно}

_{1 ∂ϕ B}

^{ϕ = −B · θ и vθ =} _{r ∂θ} ^{= −} _r ^{, vr ≡ 0, (8.19)}

так что линиями тока являются окружности с центром в начале ко- ординат. Вычислим циркуляцию скорости по одной из линий тока. Имеем

_Γ

^{Γ = 2π r vθ = −2π B, B = −} _2π ^.

_{Таким образом, комплексный потенциал}

_Γ

_{w =}

^2πi

_{ln z} (8.20)

описывает поле скоростей циркуляции вокруг начала координат или, что то же самое, поле прямолинейной вихревой линии, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости Oxy. Отметим, что положительной мы считаем циркуляцию против часовой стрелки, что соответствует правосторонней системе координат x, y, z.

V = U - iV

C

y

x

a

Рис. 6.8.1. Обтекание кругового цилиндра

_{Поперечное обтекание кругового цилиндра.}

Рассмотрим теперь поперечное обтекание кругового цилиндра ра- диуса a , образующие которого перпендикулярны плоскости x, y (см. рис. 6.8.1, U = v_x∞, V = v_y∞).

_{Так как проекции скорости vx и vy являются однозначными функ-}

^∞

_{циями от x и y, причем v¯ → V}^¯

_{, когда z = x + iy → ∞, то комплекс-}

_{ная скорость v¯ =} ^dw _{является однозначной аналитической функцией}

_{вне контура}

_dz

_{цилиндра}

_{C , то есть в окрестности бесконечно удаленной}

_{точки. Это значит, что она разлагается в ряд Лорана вида}

_{v¯ =} dw _{= V¯}

₊ C_{1 +} C_{2 +} C_{3 + ... (8.21)}

_Отсюда

dz ^∞ z

z² z³

_{w = V¯}

_{· z + C}

_{· ln z − C2 − C3}

_{− ... (8.22)}

^{∞ 1} z

2z²

Полагая z = re^iθ = r cos θ + ir sin θ, C_k = A_k + iB_k , получим

_{w = (U − iV )(r cos θ + ir sin θ) + (A1 + iB1)(ln r + iθ)−}

^r

− ^{A2 + iB2} (cos θ − i sin θ) −

_{A3 + iB3}

_2r2 ^{(cos 2θ − i sin 2θ) − ...}

(8.23)

и следовательно

_{ψ = (U r sin θ − V r cos θ) + (A1θ + B1 ln r)+}

₊ A₂ sin θ − B₂ cos θ r

₊ ^{A3 sin 2θ − B3 cos 2θ}

^2r2

+ ...

(8.24)

Из условия непротекания на поверхности цилиндра, а именно из того, что производная от потенциала скорости ϕ по нормали к по- верхности цилиндра равна нулю, следует, что линия уровня функ- ции тока ψ(x, y) = const должны совпадать с границей обтекаемого

тела, т.е. при r = a ψ = const, а значит не зависит от θ. Полагая в (8.24) r = a, из этого условия и после приравнивания соответствую- щих слагаемых в первых скобках и первой дроби, получаем значения постоянных в (8.24)

^A₁ ^{= 0, A}₂ ^{= −U a2, B}₂ ^{= −V a2, A}₃ ^{= B}₃ ^{= 0, A}₄ ^{= B}₄ ^{= 0, ...}

^C₁ ^{= iB}₁ ^{, C}₂ ^{= −a2(U + iV ), C}₃ ^{= C}₄ ^{= ... = 0.}

2π

Используя эти значения констант и обозначая оставшуюся про- извольной константу B₁ = − ^Γ , из (8.22) получим

^∞

w = V^¯

_Γ

^{· z +} _2πi

_a²_V^¯

_{ln z +} ^∞ ₌

_z

_(8.25)

^µ

= U z +

a^{2 ¶}

z

− iV

^µ _a^{2 ¶}

⁻

_{z +}

^z

Γ

2πi

ln z,

где последний член описывает циркуляционное течение вокруг кон- тура цилиндра C .

_{Пусть скорость на бесконечности направлена параллельно оси x}

(V = 0) и циркуляция отсутствует (Γ = 0). Тогда из (8.25) имеем

µ

ϕ = U r +

_a^{2 ¶}

_r

µ

cos θ = U x 1 +

_a^{2 ¶}

_x² _{+ y}²

^

^{, }

_(8.26)

^µ

ψ = U r −

a^{2 ¶}

r

sin θ = U y

^µ _a^{2 ¶}

^{1 −} _x² _{+ y}^{2 . }

D

_{y a}

θ ^x

^A B

_D

Рис. 7.8.1. Безциркуляционное обтекание кругового цилиндра

Из последнего выражения видно, что линия тока ψ = 0 (см. рис. 7.8.1) состоит из отрезков −∞ < x < x_A, x_B < x < ∞ оси x и контура цилиндра x² + y² = a². Остальные линии тока кривые третьего порядка

^µ _a^{2 ¶}

^{y 1 −} _x² _{+ y}²

= const,

то есть при Γ = 0 решение (8.25) описывает симметричное обтекание контура цилиндра. Вдоль нулевой линии тока (ψ = 0), то есть на отрезках оси x (y = 0) и на контуре цилиндра C (x² + y² = a²) соответственно имеем

µ

ϕ = U x +

_a^{2 ¶}

_x

_∂ϕ

^{, vx =} _∂x

µ

= U 1 −

_a^{2 ¶}

x²



_, ^

_(8.27)

_{1 ∂ϕ}

^{ϕ = 2U a cos θ, vθ =} _a ^· _∂θ ^{= −2U sin θ}

Из интеграла Бернулли следует, что изменения скорости и давле- ния связаны соотношением

p = p₀ −

^| _.

ρ|v¯ ²

2

Их поведение вдоль нулевой линии тока качественно показано на рис. 8.8.1.

_|^v_| ^P

_{|v| P}

P

^p ₀ ^{2U p} ₀

₂

ρ ^{U P} =p₀- ₂

U _U

0

^{p - 2} ρ^U 2 _X ^A B

Рис. 8.8.1. Изменение скорости и давления вдоль ну- левой линии тока

Точки A и B являются точками торможения:

(v)_A = (v)_B = 0, p_A = p_B = p₀.

_{В точках D и D}⁰ _{скорость достигает максимального значения 2U , а}

₃

^∞

^{давление минимального значения p}₀ ^{− 2ρU 2 = p −}

симметрично относительно обеих координатных

_ρU ² _{. Тeчение}