1. Аппроксимация степенной зависимостью

В общем случае, мы предлагаем представлять зависимость E_m(ρ) в виде степенной функции (6.30)

(6.30)

где коэффициенты K> 0 и 0<H<1 полностью характеризуют пачечный характер потока заявок и легко определяются экспериментально, путем аппроксимации кривых рис.(6.4) методом наименьших квадратов.

После подстановки в (6.19) получим (6.31):

,	(6.31)
где .

Если в процессе вычисления поучатся отрицательные значения, то следует приравнять нулю. Отрицательные значения свидетельствуют о наличии, рассмотренного выше, первого частного случая. Для пуассоновского потока K=1; H=0,5 , и полностью справедливо соотношение (6.21).

Коэффициент H по своему характеру, аналогичен известному коэффициенту Хэрста [8], который для пуассоновских потоков также равен 0,5 и изменяется в тех же пределах.

2. Полиномиальная аппроксимация

Анализ графиков, представленных на рис.6.4, также показывает целесообразность аппроксимации функции E_m(ρ) полиномом второй степени, вида (6.32)

(6.32)

Где α – некоторый постоянный коэффициент, а k- коэффициент пачечности потока.

Во многих случаях, коэффициент α незначительно отличается от единицы, и выражение для аппроксимации примет вид (6.33):

.

(6.33)

Действительно, для пуассоновского потока α=1, коэффициент пачечности k=1, E_m(ρ)=D_m(ρ)=ρ, что и следовало ожидать.

Для детерминированного потока _α=1, коэффициент пачечности k=0. И E_m(ρ)=D_m(ρ)=ρ(1-ρ), что полностью соответствует (6.20).

Для низко вариабельных потоков, коэффициент пачечности изменяется в пределах от нуля до единицы, а для высоко вариабельных – он существенно превышает единицу.

Таким образом, для определения среднего размера очереди одноприборной СМО получено простое аппроксимативное соотношение (6.34):

,

(6.34)

Если в процессе вычисления получатся отрицательные значения, то следует приравнять нулю. Отрицательные значения свидетельствуют о наличии, рассмотренного выше, первого частного случая.

Соотношение (6.34) показывает, что очередь увеличивается с увеличением некоторого коэффициента k, учитывающего степень вариабельности потока заявок. Указанный коэффициент, совместно с коэффициентом α являются характерными для данного потока и легко определяются экспериментально на основании аппроксимации зависимости E_m(ρ) в соотношении (6.33). Аппроксимация производится на интервале изменения коэффициента загрузки ρ, в пределах от 0 до единицы.

6. Мультиплексирование потоков

1. Бесприоритетное обслуживание

Известно, что математические ожидания, дисперсии, коэффициенты корреляции и коэффициенты загрузки сумм независимых потоков заявок равны сумме значений соответствующих величин исходных потоков. Соотношения (6.13) и (6.14) позволяют легко получить выражение для суммарной очереди от Q независимых потоков, при их мультиплексировании.

, , .

Следовательно,

(6.35)

Или

(6.36)

Указанное соотношение справедливо при суммировании любого числа потоков заявок с одинаковыми приоритетами и одинаковыми временами обслуживания τ.

При суммировании Q одинаковых независимых потоков, получим (6.37):

(6.37)

При аппроксимации суммы Q одинаковых потоков, получим (6.38)

,	(6.38)
где ,	(6.39)

При увеличении Q числа суммируемых потоков загрузка системы увеличивается, а пачечность суммарного потока уменьшается, приближается к единице.

(6.39)

По своим свойствам суммарный поток приближается к пуассоновскому.

Если суммируются потоки с различными постоянными временами обслуживания, то предлагается определить суммарные величины для каждого из значений τ_j, j=1,2…Q

; ;

,

а затем, определить их математические ожидания, с учётом вероятностей появления заявки каждого типа:

;	(6.40)
	(6.41)
.	(6.42)