2. Пуассоновские потоки заявок

1. Непрерывные и дискретные случайные величины

Рис. 3.1 Случайный поток заявок

 - непрерывная случайная величина, которая может принимать любые (в частном случае) положительные значения.

Рис. 3.2 Гистограмма

Предположим, что проведено N измерений величины _k, k=1,2..N.. Число n(, ) показывает, сколько раз интервал времени _k попал в интервал от  до ( +).

Величина n(, )/N показывает долю измерений, в которых величина _k находится в пределах интервала _k(+). В случае стационарного процесса, при увеличении числа измерений, это отношение стремится к постоянному значению, определяющему вероятность попадания величины _k в интервал _k(+).

,

(3.1)

Определим плотность вероятности, приходящуюся на единицу интервала . Не трудно заметить, что величина n(, ) уменьшается пропорционально уменьшению интервала . Поэтому, плотность распределения вероятностей стремится к своему предельному значению (3.2).

,

(3.2)

Вероятность того, что  определяет функцию распределения вероятностей (3.3).

,

(3.3)

Если поток заявок представленных на рис. 3.1 является простейшим (удовлетворяется условие стационарности и отсутствия взаимного влияния заявок), то плотность распределения интервалов между соседними заявками определяется соотношением (3.4), где выражение (3.5) - математическое ожидание (первый начальный момент интервалов между заявками), (3.6) - второй начальный момент, (3.7) - D_ - дисперсия случайной величины .

Для простейшего потока заявок справедливо соотношение (3.8).

,	(3.4)
	(3.5)
	(3.6)
	(3.7)
	(3.8)

Величина , обратная , представляет среднее число заявок, поступающих в единицу времени, и называется параметром интенсивности потока.

Поток, представленный на рис. 3.1 можно охарактеризовать другой случайной величиной - n(), которая представляет случайное число заявок, поступающих в течении постоянного времени . Для стационарного потока, расположение интервала  на оси времени не имеет значения. Величина n() является дискретной, n_i()=0,1,2 целые числа. На рис. 3.3 ось времени разбита на равные интервалы  и указаны числа заявок n_i(), попавшие в указанные интервалы.

Рис. 3.3

Интервалы, содержащие одинаковые числа заявок объединяются в группы и определяются числа элементов в каждой группе. Так, например, группа, содержащая по 3 заявки, включает 4 элементарных интервала , а группа, содержащая 4 заявки, состоит из двух элементов. Группы, содержащие по 5 и более заявок, отсутствуют, т.е. содержат 0 элементов.

Числа заявок n_i(), поступивших за интервалы времени и числа k_i() в каждой из групп показаны в таблице 4.

Таблица 4.

Число элементов в группе	ki()	1	1	2	4	2	0	0	0	…
Число заявок на интервале	ni()	0	1	2	3	4	5	6	7	…

На рис.3.4 показана соответствующая гистограмма

Рис. 3.4 Гистограмма

Обозначим суммарное число элементов, содержащееся во всех группах, через K() и назовем его нормирующим коэффициентом.

,

(3.9)

Вероятности поступления в течении интервала времени  ровно n() заявок, определяются соотношением P_n()=k_n()/K(). В рассматриваемом интервале K()=10, а соответствующее распределение вероятностей показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5 Распределение вероятностей числа заявок на интервале 

Очевидно, что сумма значений всех вероятностей равна единице.

Функция распределения вероятностей F_n() определяет вероятность того, что число заявок i поступивших в течение интервала времени , окажется меньше или равно n.

,

(3.10)

Естественно, что указанная вероятность, при достаточно большом значении числа заявок n, стремится к единице.

Для случайной переменной n() определим математическое ожидание , второй начальный момент и дисперсию D_n().

Для распределения вероятностей, представленного на рис. 3.5:

.

Для простейшего потока, имеющего экспоненциальное распределение интервалов между заявками, распределение вероятностей P_n() подчиняется закону Пуассона.

(3.11)

Где - математическое ожидание числа заявок на интервале .

Не трудно показать, что для закона Пуассона выполняется равенство (3.12) , то есть, отношение дисперсии к математическому ожиданию равно единице.

(3.12)

Если, в течении интервала времени , в среднем поступает заявок, то средний интервал между заявками определяется, как (3.13), а параметр интенсивности потока (3.14) для потока любого вида.

,	(3.13)
,	(3.14)

При этом, закон Пуассона может быть представлен в обычном виде

,	(3.15)
,	(3.16)
=1,	(3.17)

С учетом обозначения (3.16), значение v_n²() уменьшается обратно увеличению интервала времени , а соотношение (3.17) всегда справедливо.