Срсп №2 Интегральное исчисление функций одной переменной образец решения индивидуального задания
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1.
.
Решение.
Применим способ внесения выражения под
знак дифференциала:
.
1.2.
.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
.
1.3.
Сведём данный интеграл к табличному:
.
1.4.
;
Решение. Применяем способ подстановки:
.
.5.
.
Решение. Применяем способ подстановки:
.
1.6.
.
Решение.
Введём подстановку
.
Получим:
.
1.7.
.
Решение.
Применим формулу интегрирования по
частям:
.
В данном случае:
.
Подставляя эти выражения в формулу,
получим:
.
1.8.
.
Решение.
Введем подстановку
,
откуда
.
Тогда
.
Находим полученный табличный интеграл
и возвращаемся к прежней переменной:
.
1.9.
;
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Введём подстановку
,
тогда
и получим:
=
.
1.10.
.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
Введём подстановку
,
тогда
.
Получим:
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
.
Решение.
.
2.2.
.
Решение.
.
2.3.
.
Решение.
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Решение. Точка
является особой точкой, поскольку
подынтегральная функция имеет в ней
бесконечный разрыв. Поэтому:
- получили бесконечный предел.
Таким образом, данный интеграл расходится.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение.
Площадь данной фигуры равна разности
площадей криволинейных трапеций,
образованных прямой
и гиперболой
на отрезке
.
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение.
Используем формулу для нахождения
объёма тел вращения:
.
.
Вариант № 1.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 2.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 3.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
1.5.
;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.