Срсп №4 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Вариант №1

1) 2)

3) 4)

5)

Вариант №2

1) 2)

3) 4)

5)

Вариант №3

1) 2)

3) 4)

5)

Вариант №4

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №5

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №6

1) tg ydx – ctg xdy = 0 2)

3)

4) 5)

Вариант №7

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №8

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №9

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №10

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №11

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №12

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №13

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №14

1) 2)

3)

4) 5)

Вариант №15

1) 2)

3)

4) 5)

Срсп №5 Кратные интегралы

Первые пять задач каждого варианта необходимо решить при следующих условиях: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной данными линиями. Найти площадь части поверхности вырезаемой поверхностью . Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Найти массу тела плотности ограниченного данными поверхностями.

Вариант № 1

1. .

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. Найти длину кардиоиды

7. Вычислить площадь части поверхности параболоида ограниченной плоскостью

Вариант № 2

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Вычислить координаты центра тяжести однородной дуги астроиды расположенной в I квадранте.

7. Найти массу сферы если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до оси .

Вариант № 3

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Найти массу дуги окружности расположенной в I квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна квадрату ординаты.

7. Найти массу параболической оболочки , плотность которой в каждой точке равна ее аппликате.

Вариант № 4

1. .

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. Вычислить статический момент относительно плоскости одного витка винтовой линии

7. Найти площадь части поверхности сферы расположенной внутри цилиндра

Вариант № 5

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Вычислить момент инерции относительно точки дуги окружности

7. Найти площадь поверхности содержащейся между плоскостями

Вариант № 6

1. .

2. 

3. 

4. 

5. .

6. Вычислить статический момент относительно оси верхней половины эллипса если плотность распределения массы в точке равна ординате этой точки.

7. Найти массу поверхности сферы, если ее поверхностная плотность в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от вертикального диаметра.

Вариант № 7

1. 

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. Вычислить массу отрезка , если и а плотность распределения массы в каждой точке равна

7. Найти статические моменты однородной треугольной пластинки относительно координатных плоскостей.

Вариант № 8

1. 

2. 

3. ,

4. содержащего точку

5. 

6. Найти массу первого витка винтовой линии если плотность распределения массы в каждой точке

7. Найти момент инерции однородной треугольной пластинки относительно плоскости

Вариант № 9

1. 

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. Найти массу одного витка однородной винтовой линии

7. Найти момент инерции однородной конической поверхности относительно плоскости .

Вариант № 10

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Вычислить массу участка цепной линии между точками с абсциссами и , если плотность распределения массы в каждой точке обратно пропорциональна ординате точки, причем в точке плотность равна .

7. Вычислить момент инерции относительно оси однородной сферической оболочки плотность

Вариант № 11

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Найти статический момент относительно оси дуги кривой

от до , если ее плотность

7. Найти массу полусферы если поверхностная плотность в каждой точке .

Вариант № 12

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Вычислить момент инерции относительно начала координат четверти окружности, расположенной в первом квадранте, если плотность распределения массы

7. Найти площадь части поверхности сферы заключенной внутри параболоида

Вариант № 13

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Вычислить длину цепной линии между точками с абсциссами

7. Найти массу цилиндрической поверхности заключенной между плоскостями если в каждой ее точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.

Вариант № 14

1. 

2. 

3. 

4. содержащего точку

5. 

6. Найти массу развертки окружности , если плотность распределения массы в точке равна расстоянию этой точки до начала координат.

7. Найти площадь части поверхности параболоида заключенного внутри цилиндра

Вариант № 15

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Найти массу кардиоиды , если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой точки.

7. Найти площадь части поверхности ограниченную плоскостью

СРСП №6 Теория рядов

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Решение. Во-первых, данный ряд является знакочередующимся, причём первый множитель является отрицательным. Поэтому формула общего члена ряда должна содержать множитель . Во-вторых, все члены ряда представляют собой дроби со знаменателем, равным единице. В-третьих, знаменатели каждой дроби являются квадратами последовательных натуральных чётных чисел: и так далее. Таким образом, получим формулу: .

Задание 2. Найти 8-й член числового ряда .

Решение. .

Задание 3. Найти частичную сумму числового ряда .

Решение: .

Задание 4. Исследовать на сходимость числовые ряды:

4.1. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Предел общего члена ряда не равен нулю, следовательно, данный ряд является расходящимся.

4.2. .

Решение. Данный ряд относится к типу обобщённых гармонических рядов , причём , значит, ряд расходится.

4.3. .

Решение. Используем признак Даламбера. Найдём . Здесь . Получим: . Согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.

4.4. .

Решение. Применим радикальный признак Коши. Найдём . Получим:

. Согласно признаку Коши, данный ряд сходится.

4.5. .

Решение. Проверим сначала для данного ряда выполнения необходимого условия сходимости: . Числитель данной дроби стремится к бесконечности, а знаменатель – ограниченная величина, принимающая, в зависимости от значения различных знаков. Предел общего члена ряда, таким образом, не определён (и, естественно, не равен нулю), следовательно, данный ряд является расходящимся.

Задание 5. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды:

5.1. .

Решение. Запишем последовательность абсолютных величин членов данного ряда. Получим: . Члены ряда убывают по абсолютной величине. Теперь найдём предел общего члена ряда, составленного из абсолютных величин. Получим: - как предел обобщённого гармонического ряда при . Таким образом, выполняются оба условия признака Лейбница, и данный ряд является сходящимся. Поскольку выше мы установили сходимость ряда, составленного из абсолютных величин, то данный ряд сходится абсолютно.

5.2. .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. Он будет сходящимся, так как члены его составляют геометрическую прогрессию, знаменатель которой по модулю меньше единицы. Следовательно, данный ряд сходится, и сходится абсолютно.

Задание 6. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда:

Решение. Запишем коэффициент данного ряда: . Найдём радиус сходимости данного ряда: . Интервал сходимости данного ряда будет . Проверим поведение ряда в конечных точках данного интервала.

Пусть . Получим ряд . Проверим его сходимость по признаку Даламбера. . Ряд расходится, следовательно, точка не принадлежит области сходимости.

Пусть . Получим ряд . Получили знакочередующийся ряд, расходимость которого легко устанавливается с помощью признака Лейбница (не выполняется первое условие). То есть, точка также не входит в область сходимости. Итак, область сходимости данного ряда - .