Вариант № 11.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6.
;
1.7.
;
1.8.
;
1.9.
;
1.10.
.
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 12.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6. ; 1.7. ; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 13.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6. ; 1.7. ; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 14.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6. ; 1.7. ; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Вариант № 15.
Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 1.5. ;
1.6. ; 1.7. ; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. .
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
.
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
.
Срсп №3 Функции многих переменных образец решения индивидуального задания
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Решение.
Очевидно, аналитическое выражение,
задающее данную функцию, имеет смысл
тогда и только тогда, когда знаменатель
дроби не равен нулю:
.
Уравнение
задаёт на координатной плоскости
параболу
,
вершина которой находится в точке
,
ветви направлены влево, а осью симметрии
является ось абсцисс. Таким образом,
областью определения данной функции
являются все точки координатной
плоскости, кроме тех, что лежат на
параболе
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
.
Решение.
.
2.2.
.
Решение.
.
2.3.
.
Решение.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Решение. Сначала найдём частные производные первого порядка:
.
Теперь находим производные второго порядка по переменным и :
.
Находим смешанные производные:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Решение.
Производная функции
по направлению вектора
равна:
,
где
направляющие косинусы вектора
.
Находим частные производные данной функции:
.
Находим значения частных производных в точке :
.
Находим направляющие косинусы вектора :
.
Окончательно получим:
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Решение.
Градиент функции двух переменных
равен
.
Найдём частные производные:
.
Найдём значения частных производных в точке :
.
Тогда
градиент равен
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая плоскость . Найдём частные производные данной функции:
.
Производные первого порядка непрерывны на всей области определения функции. Для того, чтобы найти стационарные критические точки функции, решим систему уравнений:
Получили
одну стационарную критическую точку
.
Для того, чтобы выяснить, является ли
она точкой экстремума, найдём производные
второго порядка.
.
Найдём
дискриминант:
где
.
В
данном случае,
.
В данной точке экстремума нет.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Решение.
Областью определения данной функции
является вся числовая плоскость
.
Выразим из уравнения связи
переменную
:
.
Далее рассмотрим оба возможных случая.
1)
.
Подставляя это выражение в исходную
функцию, получим функцию одной переменной
.
Исследуем эту функцию на наибольшее и
наименьшее значение при
.
.
Очевидно,
при любых значениях переменной
,
и поэтому наибольшее и наименьшее
значение достигается в концах отрезка.
.
2)
.
Подставляя это выражение в исходную
функцию, получим функцию одной переменной
.
Исследуем эту функцию на наибольшее и
наименьшее значение при
.
.
Получили две стационарные критические
точки. Найдём значения функции в этих
точках и на концах отрезка.
.
Таким
образом,
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Решение.
Прежде всего, заметим, что данная функция
непрерывна в рассматриваемой области.
Найдём стационарные критические точки
функции, принадлежащие указанной
области. Частные производные первого
порядка
непрерывны в данной области. Составим
систему уравнений:
Получили
одну стационарную критическую точку
.
Найдём значение функции в этой точке:
.
Далее, последовательно найдём значения
функции на всех границах области.
1)
.
Функция принимает вид
.
Тогда
.
2)
.
Функция принимает вид
.
Тогда
.
3)
.
Функция принимает вид
.
Тогда
.
4)
.
Функция принимает вид
.
Тогда
.
Получили:
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
Решение.
Воспользуемся приближённым равенством
.
Отсюда
.
Рассмотрим
функцию
.
Найдём полный дифференциал этой функции:
.
Примем
.
Тогда получим:
.
(Вычисление с помощью микрокалькулятора
даёт результат 7,916).
Вариант № 1.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 2.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 3.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 4.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 5.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание 4. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 6.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
в направлении, составляющем с осью
абсцисс угол
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 7.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
в направлении, составляющем с осью
абсцисс угол
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 8.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
в направлении, составляющем с осью
абсцисс угол
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 9.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание
8. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции
в области
.
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 10.
Задание
1. Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных:
.
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
Задание
3. Найти все частные производные второго
порядка функции двух переменных:
.
Задание
4. Найти производную функции
в точке
в направлении, составляющем с осью
абсцисс угол
.
Задание
5. Найти градиент функции
в точке
.
Задание
6. Исследовать функцию
на экстремумы.
Задание
7. Найти экстремум функции
при условии
.
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание
9. Найти с помощью полного дифференциала
приближённое значение выражения
.
Вариант № 11.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 12.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 13.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 14.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .
Вариант № 15.
Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .
Задание 2. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:
2.1. ; 2.2. ; 2.3. .
Задание 3. Найти все частные производные второго порядка функции двух переменных: .
Задание 4. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью абсцисс угол .
Задание 5. Найти градиент функции в точке .
Задание 6. Исследовать функцию на экстремумы.
Задание 7. Найти экстремум функции при условии .
Задание 8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Задание 9. Найти с помощью полного дифференциала приближённое значение выражения .