§7.2. Линейная зависимость, размерность и базис в линейном пространстве

Определение

7.2.1.

1. Выражение называется линейной комбинацией элементов линейного пространства .

2. Элементы линейного пространства  называются линейно зависимыми, если существуют числа , не равные нулю одновременно, такие, что .

3. Элементы линейного пространства  называются линейно независимыми, если из равенства следует, что .

Лемма

7.2.1.

Для того чтобы некоторое множество элементов линейного пространства было линейно зависимым, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1., в котором слово “вектор” заменено словом “элемент”.

Лемма

7.2.2.

Если некоторое подмножество элементов линейно зависимо, то линейно зависимы и сами элементы .

Доказательство:

Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых элементов множества . Тогда существуют не равные нулю одновременно числа такие, что . Но из этого соотношения вытекает равенство , которое означает линейную зависимость элементов .

Лемма доказана.

Определение

7.2.2.

Базисом в линейном пространстве называется любой упорядоченный набор его n элементов, если

1. эти элементы линейно независимые;

2. любое подмножество в , состоящее из n+1 элемента и включающее эти n элементов, линейно зависимо.

Определение

7.2.3.

Линейное пространство называется n-мерным и обозначается , если в нем существует базис, состоящий из n элементов. Число n называется размерностью линейного пространства и обозначается .

Теорема

7.2.1.

Для каждого элемента линейного пространства существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов.

Доказательство:

Пусть в линейном пространстве  заданы базис и произвольный элемент x. Тогда, по определению базиса, система элементов линейно зависима и по лемме 7.2.1. элемент x является линейной комбинацией элементов . Существование разложения доказано.

Покажем единственность разложения. Допустим, что существуют две различные линейные комбинации и . Тогда получаем, что , но это означает, что при данном допущении система элементов линейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность.

Теорема доказана.

Линейное пространство

Размер- ность

Пример базиса

Множество всех радиус-векторов на плоскости

2

Упорядоченная пара неколлинеарных векторов на плоскости.

Множество всех векторов в пространстве

3

Упорядоченная тройка нормированных, попарно ортогональных векторов.

Множество всех n-компонентных столбцов

n

n cтолбцов вида .

Множество всех многочленов степени не выше, чем n

n+1

n+1 одночлен вида

Множество всех матриц размера

nm

nm всевозможных различных матриц размера , все элементы которых равны нулю, кроме одного, равного 1.

Множество всех функций, непрерывных на [a,b]



Базис не существует ¹).

Множество решений однородной системы m уравнений с n неизвестными и рангом r.

n-r

Нормальная фундаментальная система решений.