§7.3. Подмножества линейного пространства

Определение

7.3.1.

Непустое множество , образованное из элементов линейного пространства , называется подпространством этого линейного пространства, если для любых и любого числа :

1.

2. .

Замечание:

из определения 7.3.1. следует, что множество само является линейным пространством, поскольку для него очевидно выполняются все аксиомы операций в линейном пространстве.

Пример

7.3.1.

1. Множество радиус-векторов всех точек, лежащих на некоторой плоскости, проходящей через начало координат, является подпространством во множестве радиус-векторов всех точек трехмерного геометрического пространства.

2. Множество всех многочленов, степени не выше, чем n, есть подпространство в линейном пространстве непрерывных функций .

3. В пространстве n-мерных столбцов совокупность решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с основной матрицей ранга r , образует подпространство размерности .

4. Подпространством любого линейного пространства будет:

а) само линейное пространство;

б) множество, состоящее из одного нулевого элемента.

Определение

7.3.2.

Пусть даны два подпространства и линейного пространства .

1. Объединением подпространств и называется множество элементов , что либо . Объединение подпространств и обозначается .

2. Пересечением подпространств и называется множество элементов , принадлежащих и одновременно. Пересечение подпространств и обозначается .

3. Суммой подпространств и называется совокупность всех элементов , при условии, что и . Сумма подпространств и обозначается

4. Прямой суммой подпространств и называется совокупность всех элементов , при условии, что и и . Прямая сумма обозначается .

Теорема

7.3.1.

Как сумма, так и пересечение подпространств и в суть также подпространства в .

Теорема

7.3.2.

Размерность суммы подпространств и равна

Доказательство:

1. Пусть подпространство имеет базис и, соответственно, размерность k. Дополним этот базис элементами до базиса в и элементами до базиса в . В этом случае каждый элемент может быть разложен по системе элементов .

2. Покажем теперь, что набор элементов линейно независим в .

Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, линейную комбинацию этих элементов

. (7.3.1.)

Заметим, что по построению , но, с другой стороны, этот же элемент .

Это означает, что и, следовательно, в равенстве (7.3.1.) все . А поскольку - базис, то и все и линейная комбинация, стоящая в левой части равенства (7.3.1.), тривиальная. Следовательно, - линейно независимая система элементов.

3. Из пункта 2 следует, что является базисом в . Размерность подпространства при этом равна

Теорема доказана.

Следствие

7.3.1.

В случае прямой суммы подпространств и каждый элемент представим в виде так, что и , единственным образом, поскольку набор элементов является базисом в .

Определение

7.3.3.

Совокупность всевозможных линейных комбинаций некоторого множества элементов линейного пространства , называется линейной оболочкой этого множества и обозначается .

Пример

7.3.2.

Множество многочленов степени не выше, чем n, является линейной оболочкой набора одночленов в линейном пространстве непрерывных функций .

Теорема

7.3.3.

Множество всех элементов, принадлежащих линейной оболочке , является линейным пространством, размерности m , где m - максимальное число линейно независимых элементов во множестве .

Доказательство:

1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокупности элементов вида (в предположении, что _i произвольные числа) справедливы все аксиомы определения 7.1.1., то есть рассматриваемая линейная оболочка является линейным пространством.

2. Пусть максимальное число линейно независимых элементов в наборе равно . Без ограничения общности можно считать, что эти элементы

суть . В этом случае и любой элемент линейной оболочки может быть представлен в виде линейной комбинации элементов .

3. Покажем теперь, что любой набор из l ( ) элементов данной линейной оболочки будет линейно зависимым. Для этого выберем l элементов , принадлежащих линейной оболочке, и выразим их через элементы , получим . Приравняем нулевому элементу произвольную линейную комбинацию выбранного набора :

.

Поскольку элементы линейно независимы, то коэффициенты _i должны удовлетворять следующей однородной системе линейных уравнений

.

Но эта система имеет (по теореме 6.7.1.) линейно независимых, а следовательно, ненулевых, решений, поскольку . Принимая во внимание, что l и m натуральные числа, получаем , то есть существует нетривиальная линейная комбинация элементов , равная o.

Теорема доказана.

Определение

7.3.4.

Множество , образованное из элементов вида , где есть некоторый фиксированный элемент линейного пространства , а x любой элемент некоторого подпространства , называется гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве .

Замечания:

1. В общем случае гиперплоскость не является подпространством.

2. Если dim()=k, то говорят о k-мерной гиперплоскости.

Задача

7.3.1.

Показать, что если элементы x и y принадлежат некоторой гиперплоскости , то этой же гиперплоскости будет принадлежать и элемент , где  - любое число.