§7.4. Операции с элементами линейного пространства в координатном представлении

Определение 7.4.1.

Коэффициенты разложения называются координатами (или компонентами) элемента x линейного пространства в базисе .

Заметим, что в силу теоремы 7.2.1. элемент линейного пространства в базисе однозначно представляется n-компонентным столбцом, называемым «координатным представлением элемента в базисе », .

В базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элемента линейного пространства при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в даны два базиса: “старый” и “новый” , с соответствующими координатными разложениями элемента x: и . Пусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого” .

Определение 7.4.2.

Матрица , j-й столбец которой состоит из коэффициентов координатных разложений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса к базису .

Отметим, что это определение является обобщением определения 1.8.2. Тогда справедлива

Теорема 7.4.1.

Координаты и связаны соотношениями , где коэффициенты - элементы матрицы перехода .

Доказательство: Пусть известно разложение элементов “нового” базиса по “старому” . Тогда справедливы равенства , или . Но если линейная комбинация линейно независимых элементов равна нулевому элементу, то она тривиальная. Откуда получаем, что . Теорема доказана.

Иначе говоря, если столбец элементов “нового” базиса выражаются через столбец элементов “старого” при помощи умножения слева на транспонированную матрицу перехода , то координатный столбец в “старом” базисе равен произведению матрицы перехода на координатный столбец в “новом” базисе. В матричной форме: если , то .

Рассмотрим теперь вопрос о том, как операции с элементами линейного пространства выполняются в координатной форме. Пусть в конкретном базисе и , тогда в силу определения базиса и аксиом линейного пространства будут справедливы следующие соотношения.

1. Для операции сравнения: два элемента в равны тогда и только тогда, когда

, или в координатной форме .

2. Для операции сложения:

, или в координатной форме .

3. Для операции умножения на число:

, или в координатной форме .

Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.

Отметим, наконец, что факт равенства или неравенства двух элементов в координатной форме можно проверять в любом базисе, поскольку в силу невырожденности будут справедливы соотношения