§7.5. Изоморфизм линейных пространств

Определение

7.5.1.

Два линейных пространства и называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение :  такое, что для и

1. ;

2.

Отображение называется изоморфизмом линейных пространств и .

Теорема

7.5.1.

(об изоморфизме)

Два линейных конечномерных пространства и изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.

Доказательство:

Пусть . Принимая правило отображения, при котором каждому элементу ставится в соответствие элемент из , имеющий те же самые координаты, а также используя правила действий с элементами в координатном представлении, приходим к изоморфизму и .

Допустим, что , где и изоморфны. Тогда некоторый набор n линейно независимых элементов из отображается в n элементов в , которые обязаны быть линейно зависимыми. Поскольку при изоморфизме нулевой элемент переходит в нулевой элемент, то мы приходим к противоречию с предположением о линейной независимости выбранных n элементов из .

Случай n < m рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Теорема

7.5.2.

Число линейно независимых элементов в любом конечном наборе элементов из равно рангу матрицы, столбцы которой содержат координаты элементов данного набора в некотором базисе.

Доказательство:

Следует из изоморфности линейного пространства и линейного пространства всех n-компонентных столбцов, а также из теоремы 6.5.3. (о ранге матрицы).

Следствие 7.5.1.

k элементов в линейно зависимы тогда и только тогда, когда ранг матрицы, столбцы которой содержат координаты этих элементов в некотором базисе, меньше, чем .

Следствие

7.5.2.

Матрица перехода невырожденная, то есть .

Доказательство:

Предположим противное, , тогда и столбцы матрицы перехода линейно зависимые. Но тогда будут зависимыми и элементы , что противоречит условию о том, что - базис.

Следствие доказано.

Следствие 7.5.3.

Существует матрица , обратная матрице перехода , называемая обратной матрицей перехода.

Следствие 7.5.4.

Пусть в задан базис , в котором координатное представление элементов имеет вид . Тогда каждая однородная линейная система m линейных уравнений с n неизвестными определяет некоторое подпространство в .

Доказательство:

Следует из того, что данное подпространство в силу теоремы 6.7.2. является линейной оболочкой нормальной фундаментальной системы решений системы

линейных уравнений , а изоморфно линейному пространству n - компонентных столбцов .

Следствие 7.5.5.

Пусть в задан базис , в котором координатное представление элементов имеет вид . Тогда каждая совместная неоднородная линейная система m линейных уравнений с n неизвестными определяет некоторую гиперплоскость  в .

Доказательство:

Аналогично рассуждениям, приведенным для следствия 7.5.4.

Задача

7.5.1.

Проверить, что элементы образуют базис в и найти координатное представление элемента в этом базисе, если в некотором исходном базисе:

, , и .

Решение:

1. Для того, чтобы из элементов можно было образовать в базис, необходимо и достаточно (определение 7.2.2.), чтобы эти элементы были линейно независимыми. По следствию 7.5.1. данное условие в равносильно неравенству , которое имеет место, поскольку

.

2. Обозначим искомые координаты элемента x через . Тогда , или в координатной форме

.

3. Использовав условие равенства двух элементов в координатной форме, получим систему линейных уравнений

решив которую по правилу Крамера (теорема 6.4.1.) или методом Гаусса (§6.8.), получим . Откуда следует, что элемент в базисе, образованном из элементов , имеет координатное представление .

Задача

7.5.2.

Найти матрицу перехода от базиса в  , образованного элементами , к базису , если в некотором исходном базисе:

, , , , и .

Решение:

1. Пусть , и обозначают координатные столбцы элемента x в трех базисах: исходном, и соответственно. Тогда (по определению 7.4.2. и в силу теоремы 7.4.1.) имеют место равенства

и ,

где матрицы и составлены из координатных столбцов базисных элементов и , то есть

и .

Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису , для которой . Но из условий и следует, что , поскольку матрица очевидно невырожденная.

Тогда для любого элемента , а это, в силу леммы 5.1.2., означает, что искомая матрица перехода .

2. Подсчитав произведение

используя, например, схему описанную в §6.8. для выражений вида , получаем

.

Задача

7.5.3.

В линейном пространстве многочленов степени не выше чем 3, найти базис и размерность пересечения двух линейных оболочек элементов

и

Решение:

1. По теореме 7.4.1. каждая из линейных оболочек является подпространством. Первое из них образовано элементами вида , а второе - , соответственно элементами . Составим однородные системы линейных уравнений, задающих эти подпространства (см. следствие 7.5.4.).

Пусть каждое из уравнений этих систем имеет вид

.

Тогда, воспользовавшись изоморфизмом между и пространством четырехкомпонентных столбцов вида

,

где - произвольные числа, приходим к условию

,

которое будет выполняться при любых , если числа образуют решение следующей системы линейных уравнений

Решив эту систему, например, по схеме описанной в §6.8., получим общее решение в виде

,

откуда заключаем, что существует два независимых набора искомых чисел и, следовательно, однородная система линейных уравнений, задающая подпространство имеет вид

Аналогично строим однородную систему линейных уравнений, задающую :

Наконец, подпространство будет задаваться системой

общее решение которой есть

,

и, следовательно, для с базисом, состоящим из одного элемента .