Цель работы

Найти коэффициент проницаемости электрона в одномерном потенциальном барьера треугольной формы шириной (a=8Å) и высотой (U=10 эВ).

1.Стационарное уравнение Шрёдингера.

1.1.Оператор Гамильтона.

Оператором Гамильтона называется оператор полной энергии системы. Полная энергия E нерелятивистской системы есть сумма её кинетической T и потенциальной W энергии:

.

Оператор полной энергии также есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергии:

,

где – оператор Лапласа.

Вид оператора потенциальной энергии индивидуален для каждой задачи. Чаще всего, или даже почти всегда вычисление потенциальной энергии сводится к умножению волновой функции на некоторую известную функцию. Так, например, для электрона в атоме водорода оператор потенциальной энергии определяется следующим образом:

,

где e – элементарный заряд; r – расстояние от электрона до ядра атома; ₀ – электрическая постоянная.

1.2. Стационарное уравнение Шрёдингера

Оператором Гамильтона называется оператор полной энергии системы. Поэтому собственными значениями оператора Гамильтона будут значения энергии системы, а собственными функциями – волновые функции системы в состояниях с определённым значением полной энергии. Эти собственные значения и собственные функции чаще всего и требуется определить в различных задачах квантовой механики. Именно значения энергии электрона в атоме водорода и определил Бор.

Запишем уравнение, позволяющее определить собственные значения и собственные функции оператора полной энергии (оператора Гамильтона):

.

Здесь E_n – значения энергии системы, а _n(x) – волновые функции системы в состояниях с определённым значением полной энергии. Аргументом волновой функции является величина x. Под величиной x можно понимать как просто координату x, так и совокупность всех пространственных координат (x,y,z). Для краткости в дальнейшем мы будем обозначать одной буквой x любую совокупность пространственных координат, от которых зависит волновая функция. Оператор Гамильтона

.

Подставим выражение для оператора Гамильтона в уравнение и получим:

.

Это уравнение и называется стационарным уравнением Шрёдингера.

Слово «стационарное» означает, что в данном случае рассматриваются только состояния, не меняющиеся с течением времени, то есть стационарные состояния рассматриваемой квантовой системы.

2.Теоретическая часть.

2.1. Связанные состояния частицы в потенциальной яме конечной глубины с прямоугольными стенками.

Рассмотрим микрочастицу, которая может совершать одномерное движение. Потенциальная энергия в этой области при x< 0 составляет W = W₁, при 0 <x<L W = W₂, а при x>L – W = W₃(рис. 2.17):

Рассмотрим теперь движение частицы, величина энергии которой соответствует прямой горизонтальной линии на рис. 2.17. Классическая частица с такой энергией будет совершать финитное движение внутри области между x= 0и x = L.

Чтобы описать движение квантовой частицы, решение уравнения Шрёдингера найдём сначала в отдельных областях 1, 2 и 3, затем потребуем непрерывности волновой функции и её производной на границах областей в точках x= 0и x=L. В данном случае решения уравнения Шрёдингера в областях 1 (x< 0) и 3 (x>L), с одной стороны, и в области 2 (0 <x<L) – с другой будут качественно различными.

Рассмотрим решения в областях пространства 1(x< 0) и

3 (x>L). Запишем стационарное уравнение Шрёдингера:

,

.

В данном случае для областей 1 и 3 множитель перед функцией ψ(x) отрицателен:

и .

Обозначим

.

Теперь

.

Мы получили однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

,

где ₁, ₂ – корни характеристического уравнения, которое в данном случае можно записать так:

.

Найдём корни характеристического уравнения:

.

,

,

где – действительная величина.

Итак, решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Здесь A₁ и A₂ – произвольные постоянные.

.

Для области 2:

.

Теперь

.

Мы снова получили однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет вид

,

где ₁, ₂ – корни характеристического уравнения, которое в данном случае имеет вид

,

.

Теперь корни характеристического уравнения мнимые, так как :

где – действительная величина.

Решение дифференциального уравнения в области пространства 2

(0 <x<L) имеет вид:

.

Здесь B₁ и B₂ – произвольные постоянные.

Это решение можно представить в действительной форме:

,

где B и δ – произвольные постоянные.

Выпишем решения уравнения Шрёдингера в областях 1, 2 и 3:

, .

Примерный вид графиков функций , , и , иллюстрирующих вид общего решения уравнения Шрёдингера для трёх рассматриваемых областей пространства, показан на рис. 2.18.

В области 1 (x< 0) функция имеет два слагаемых:

Величина ₁> 0, а координата x в области 1 может принимать только отрицательные значения. При больших по модулю отрицательных значениях координаты второе слагаемое в выражении для неограниченно возрастает. Исходя из того, что волновая функция не может неограниченно возрастать, следует считать, что коэффициент A₂ перед вторым слагаемым в выражении для равен нулю.

Решение в области 3 (x>L) также состоит из двух слагаемых:

При положительных значениях координаты, стремящихся к бесконечности, неограниченно возрастать будет первое слагаемое в выражении для функции . Снова, исходя из того, что волновая функция не может неограниченно возрастать, следует считать, что коэффициент перед первым слагаемым в выражении для равен нулю.

Примерный вид графиков функций , , и , который не содержит неограниченно возрастающих слагаемых и соответствует свойствам волновой функции, показан на рис. 2.19.

Кроме того, что волновая функция должна быть ограничена на всей области определения, она должна быть непрерывна вместе со своими производными. Возможный вид графика функции, которая не только ограничена, но и непрерывна вместе со своей первой производной, показан на рис. 2.20.

Определим, при каких значениях произвольных констант A, B и δ волновая функция частицы в рассматриваемом поле будет непрерывной. Запишем решение Шрёдингера для областей 1, 2 и 3 (рис. 2.20).

,

,

,

где , .

Теперь нам следует записать условия непрерывности волновой функции и её первой производной в точках x= 0и x= L.

После подстановки функций , , и в явном виде получим:

После очевидных упрощений систему уравнений можно переписать так: