2.4. Туннельный эффект. Прохождение одномерного потенциального барьера прямоугольной формы
Рассмотрим
прохождение квантовой частицей
одномерного потенциального барьера.
Вид зависимости потенциальной энергии
от координаты показан на рис. 2.22,
где буквой E
обозначена полная энергия частицы; V
– высота потенциального барьера.
Зависимость потенциальной энергии
частицы от координаты x
можно выразить следующим образом:
С классической точки зрения частица, движущаяся из области 1 (x < 0) и обладающая полной механической энергией E < V, обязательно отразится от потенциального барьера в точке x = 0 и никогда не сможет проникнуть в области 2 и 3 (x > 0). В то же время для квантовой частицы существует отличная от нуля вероятность проникнуть в классически недоступные области пространства 2 и 3. Это одна из замечательных особенностей квантовой механики, отражающая реальное положение дел, наблюдаемое в экспериментах с микрочастицами. Рассматриваемое явление называется туннельным эффектом.
Теперь перейдём к описанию туннельного эффекта в простейшем случае, когда зависимость потенциальной энергии частицы от координат задана записанными выше формулами, а полная механическая энергия частицы E < V, что соответствует рис. 2.22. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера:
,
В областях пространства 1 и 3, при значениях x < 0 и x > а соответственно, потенциальная энергия частицы имеет значение U(x) = 0, а уравнение принимает вид:
.
Решение этого уравнения в областях 1 и 3 запишем в виде
,
где
.
В области 2 (0 < x < a), где U(x) = V уравнение принимает вид
.
При этом величина (E – V) < 0, а с ней и коэффициент перед функцией (x) в уравнении будет отрицательным. Следовательно, в данном случае решение будет иметь вид
,
где
.
Решение уравнения Шрёдингера для трёх рассматриваемых областей можно записать так:
,
,
,
где
, .
Каждую
из волновых функций
и
можно рассматривать, как суперпозицию
двух плоских волн.
Напомним,
что функция вида
описывает
волну,
распространяющуюся
вдоль положительного направления оси
OX.
A
функция вида
описывает волну,
распространяющуюся вдоль отрицательного
направления оси OX.
Таким образом, решение уравнения
Шрёдингера в области 1 можно рассматривать,
как суперпозицию волны, падающей на
барьер слева, и волны, отраженной от
барьера и распространяющейся вправо.
Аналогично, решение уравнения Шредингера
для области 3 можно рассматривать, как
суперпозицию волны, падающей на барьер
справа, и волны, прошедшей через барьер
и распространяющейся вправо.
Если мы рассматриваем частицу, падающую на барьер слева, то в области 3 (за барьером) может существовать только прошедшая волна, распространяющаяся вправо, так как вплоть до бесконечности там нет никаких объектов, от которых волна могла бы отразиться. Поэтому коэффициент B3, в выражении для волны, идущей из бесконечности к барьеру, следует считать равным нулю. Теперь можно записать решение уравнения Шрёдингера так:
,
,
.
Отношение квадрата амплитуды прошедшей волны к квадрату амплитуды падающей волны назовем коэффициентом прозрачности барьера и обозначим буквой T:
.
Именно эта величина определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Отношение амплитуд прошедшей и падающей волн обозначим
.
Отношение квадрата амплитуды отражённой волны к квадрату амплитуды падающей волны равно вероятности отражения частицы от потенциального барьера. Назовем эту величину коэффициентом отражения барьера и обозначим буквой R:
.
Отношение амплитуд прошедшей и падающей волн обозначим
.
Потребуем непрерывности волновой функции и её первой производной в точках x = 0 и x = a. В результате получим систему уравнений:
Подставим
в эту систему уравнений выражения для
функций
,
и
,
а также их первых производных. Получим:
Разделим все уравнения на А1:
Используем обозначения:
,
,
,
.
Теперь систему уравнений можно переписать так:
(2.12)
Рассмотрим два первых уравнения системы. Умножим первое уравнение на η:
Сложим и вычтем уравнения:
Отсюда коэффициенты α и β:
Рассмотрим теперь два последних уравнения системы (2.12). Подставим значения α и β:
Теперь сгруппируем слагаемые:
Снова заменим уравнения их суммой и разностью:
Отсюда, исключая r, определим коэффициент t:
Коэффициент t является решением этого уравнения. Найдём его:
Сгруппируем слагаемые и вынесем за скобки общие множители:
Отсюда
,
.
Коэффициент прозрачности потенциального барьера равен
,
.
Полученная
формула показывает, что существует
отличная от нуля вероятность того, что
квантовая частица проникнет в классически
недоступную область x
> 0. Эта вероятность зависит не только
параметров потенциального барьера, но
и от энергии частицы, так как от энергии
зависят величины k
и η,
входящие в формулу для коэффициента
прозрачности барьера. Зависимость от
энергии, как это видно из формулы, имеет
существенно нелинейный характер.
Коэффициент R отражения частицы от барьера можно найти из соотношения
R + T = 1.
В некоторых случаях, когда потенциальный барьер очень высокий и узкий, можно использовать приближённую формулу для прозрачности барьера. В этом случае (V – E) >> E (см. рис. 2.23), а величины k и определяются по формулам
,
.
Следовательно,
η
>> k.
Кроме того, если ширина барьера a
не слишком велика, то
.
Коэффициент прозрачности потенциального барьера
.
В
этом случае приближённо можно считать,
что
,
где
.
Если барьер по-прежнему высокий, но имеет более сложную форму, его можно представить, как совокупность последовательно расположенных прямоугольных высоких и узких барьеров (рис. 2.24). В этом случае коэффициент прозрачности высокого и узкого потенциального барьера произвольной формы можно записать как произведение
T Т1Т2 …ТN,
где Т1, Т2, …, ТN – коэффициенты прозрачности отдельных «элементарных» прямоугольных потенциальных барьеров. Теперь коэффициент прозрачности сложного барьера приближённо можно выразить так:
.
Туннельный эффект весьма широко распространён в природе. Туннелированием частиц объясняются такие явления, как радиоактивный α – распад атомных ядер, холодная электронная эмиссия, многие контактные явления в физике твёрдого тела, эффект Джозефсона в контактах «сверхпроводник – диэлектрик – сверхпроводник» и другие явления. Этот эффект лежит в основе работы такого уникального прибора, как сканирующий туннельный микроскоп.