2.6. Стационарная теория возмущений для дискретного спектра без вырождения.

Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера в случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

где – гамильтониан, собственные функции и собственные значения которого известны, а – малая добавка к гамильтониану . принято называть невозмущённым оператором Гамильтона, а – оператором возмущения. также называют гамильтонианом невозмущённой задачи. Гамильтониан будем называть возмущённым.

Собственные значения энергии и собственные функции гамильтониана определяется стационарным уравнением Шредингера

(3.2)

Все собственные значения и все собственные функции гамильтониана известны [или мы легко можем их найти, решая уравнение Шрёдингера (3.2)]. Будем рассматривать случай дискретного невырожденного спектра собственных значений . Напомним, что энергетический спектр является невырожденным, если каждому значению главного квантового числа соответствует только одно значение энергии частицы.

Будем также считать, что оператор возмущения можно представить в виде

где  – малый безразмерный параметр; – некоторый (не малый) оператор.

Теперь задача сводится к решению уравнения

(3.3)

Приступаем к его решению. Воспользуемся тем, что нам известны (или мы легко можем их найти) все собственные значения и все собственные функции оператора , определяемые из уравнения Шрёдингера (3.2). является эрмитовым оператором, а собственные функции всякого эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор функций, то есть они могут служить базисом некоторого пространства. Это значит, что любую функцию, в том числе и волновую функцию , можно представить в виде разложения по этому базису

(3.4)

где – собственные функции гамильтониана , удовлетворяющие уравнению (3.1).

Подставим в виде (3.4) в уравнение (3.3):

. (3.5)

Здесь собственные функции возмущённого гамильтониана , а – собственные значения энергии возмущённого гамильтониана.

В частности, – одно из этих собственных значений, а одна из этих собственных функций. Именно эти собственные значения энергии и собственные функции нам нужно найти.

Умножим уравнение (3.5) на слева и проинтегрируем обе части уравнения по всей области определения волновых функций

(3.6)

Вычислим интегралы в уравнении (3.6):

Здесь собственные функции гамильтониана , а для них выполняется уравнение (3.2), поэтому

.

Собственные функции невозмущённого гамильтониана ортонормированы, следовательно:

Напомним, что _mn – символ Кронекера,

С учётом этого проведём дальнейшие преобразования:

Таким образом, первый интеграл равен

Во втором интеграле поменяем местами операции суммирования и интегрирования и вынесем за знаки интеграла и суммы константы:

То же выполним и в третьем интеграле:

.

Подставим найденные значения интегралов в уравнение (3.6):

.

Обозначим

и назовём W_mn матричным элементом возмущения. Тогда

,

или

. (3.7)

Дифференциальное уравнение (3.3) свелось к системе алгебраических уравнений (3.8), размерность которой совпадает с числом собственных волновых функций оператора , то есть является бесконечной.

Система уравнений (3.7) является точным эквивалентом дифференциального уравнения (3.3) даже без учета малости параметра . И если мы знаем, как вычислять матричные элементы W_mn, то значение E_m можно найти, решая систему уравнений (3.7). Но эта система уравнений имеет бесконечную размерность. При любом её практическом решении необходимо ограничивать число уравнений, а вопрос о корректности такого ограничения (то есть вопрос о том, какие из уравнений включить в решаемую систему, а какие нет), как правило, остается открытым. Точное решение системы (3.7), разумеется, невозможно.

В то же время, воспользовавшись малостью параметра , систему (3.7) можно решить приближённо. В этом случае оказывается возможным представить собственное значение энергии в виде ряда

.

Здесь – поправки к энергии соответствующих порядков (первого и второго); – номер собственного значения энергии.

Волновую функцию системы в состоянии с главным квантовым числом представим в виде функционального ряда по собственным функциям невозмущённого гамильтониана :

В свою очередь, каждый из коэффициентов в разложении в ряд волновой функции представим также в виде ряда по малому параметру :

.

Подставим разложения для собственного значения энергии и коэффициентов a_m в систему уравнений (3.7):

,

.

Выполним умножение и приравняем слагаемые с одинаковыми степенями λ. При этом ограничимся степенями не выше второй. Рассмотрим отдельно два случая: и .

Сначала запишем результат для . В этом случае :

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях λ для случая . Коэффициенты при степени ⁰:

Отсюда

.

Таким образом, за нулевое приближение для энергии примем соответствующее собственное значение энергии невозмущённого гамильтониана.

Коэффициенты при степени ¹:

.

Так как , выражение в скобках равно нулю и первая поправка для энергии

Коэффициенты при степени ²:

Вторая поправка для энергии

Для (_ml = 0):

Слагаемые со степенью ⁰ отсутствуют. Приравняем коэффициенты при степени ¹:

Из этих уравнений определяем набор коэффициентов разложения волновой функции по базисным функциям в первом приближении:

Теперь мы знаем набор коэффициентов разложения собственной функции возмущённого гамильтониана ψ(x) по – собственным функциям невозмущённого гамильтониана в первом приближении. Первую поправку к волновой функции можно записать так:

Приравняем коэффициенты при степени ²:

.

Пользуясь этим выражением, можно найти следующую (вторую) поправку к энергии:

Таким образом, с учётом двух поправок собственное значение энергии номер равно

Выражение для волновой функции в нулевом приближении:

Выражение для волновой функции в первом приближении:

.

Далее, приравнивая коэффициенты при параметре λ в более высоких степенях, а также зная выражения для можно найти выражения для – второй поправки к коэффициентам разложения волновой функции, третьей поправки к энергии и так далее.

На практике обычно ограничиваются первым приближением для волновой функции и вторым приближением для энергии частицы. Применение метода теории возмущений оправдано лишь тогда, когда каждая последующая поправка является малой по сравнению спредыдущей, то есть если ряд сходится. Это возможно, например, если

для любого .

Если гамильтониан представить в виде матрицы, то недиагональные элементы его должны быть много меньше разности энергий уровней.