2.2. Собственные значения энергии частицы.

Из последней системы уравнений определим допустимые значения параметров k, γ₁ и γ₃, при которых волновая функция непрерывна и ограничена во всей области определения. Далее, пользуясь полученными выражениями для этих величин, определим собственные значения энергии частицы.

Разделим первое уравнение системы на второе, а третье уравнение на четвёртое:

Воспользуемся известной из тригонометрии формулой для суммы тангенсов:

,

.

Учтём, что

.

Тогда

,

,

. (2.8)

Величины k, γ₁ и γ₃ зависят от энергии частицы:

, а .

Определив эти величины, мы сможем найти значения энергии частицы. Не нарушая общности, можно считать, что W₂ = 0. Это соответствует выбору начала отсчёта энергии от дна ямы.

Введём безразмерные параметры , . В уравнении (2.8) величины и произведение kL выразим через параметры z и b:

Теперь уравнение (2.8) можно переписать, так:

(2.9)

Для симметричной ямы, когда W₁ = W₃ и b = 1 уравнение (2.9) несколько упрощается:

Это уравнение можно переписать так:

(2.10)

Мы получили трансцендентное уравнение относительно величины z. Решая это уравнение, можно определить величину z, а затем найти значение энергии частицы. Напомним, что энергия частицы связана с глубиной ямы W₁ соотношением

.

Аргумент тангенса представим в виде, удобном для выполнения расчётов. Для этого выразим энергию W₁в электрон-вольтах, а размер ямы L–в нанометрах. Введём новые обозначения: w₁ – потенциальная энергия (глубина ямы) в электрон-вольтах, - линейный размер ямы в нанометрах. Для электрона, масса которого кг, аргумент тангенса можно записать так:

Обозначим

.

Отметим, что для других частиц численное значение параметра λ будет другим. Теперь уравнение принимает вид

Решать полученное трансцендентное уравнение будем графически. Рассмотрим, к примеру, два частных случая, когда L = 1 нм, W₁ = 1 эВ и L = 1 нм, W₁ = 5 эВ.

На рис 2.21 показаны графики функций правой и левой части уравнения, а по оси абсцисс отложены значения переменной z. Абсциссы точек пересечения соответствуют корням уравнения. Точка z= 0корнем не является. Всего корней пять.

Далее следует найти (графически или численно, например, с помощью метода дихотомии) корни уравнения – значения переменной z, соответствующие точкам пересечения кривых на рисунке. Затем, зная величину параметра W, найти собственные значения энергии:

.

Таким образом, мы видим, что собственные значения энергии образуют дискретный набор значений.

2.3. Определение нормировочного множителя и волновой функции в явном виде.

Итак, запишем решения уравнения Шрёдингера для областей 1, 2 и 3:

Здесь , . Чтобы найти волновую функцию в явном виде, нужно определить коэффициенты A, B и C, а также фазу δ.

Для этого снова рассмотрим систему уравнений, возникающую из условий непрерывности волновой функции и её производной.

Разделим первое уравнение системы на второе, пологая при этом, что W₂ = 0.

, ,

. (2.11)

Индекс n обозначает здесь номер энергетического уровня.

Из третьего уравнения системы

.

Из первого уравнения

,

.

Для определения константы A воспользуемся условием нормировки волновой функции:

.

В нашем случае получаем уравнение

.

Подставим в это уравнение функции , , и в явном виде:

.

Подставим сюда также константы B и C, выраженные через константу A:

Из этого уравнения можно определить константу A. Зная константу A, легко можно найти и константыB и C, входящие в выражение для волновой функции.

Фазу волновой функции можно определить по формуле (2.11).