3. Теорема подобия для плана скоростей

Теорема. Отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей точек на плане скоростей, и отрезки прямых линий, соединяющие одноименные точки на плане механизма, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. При этом фигура на плане скоростей повернута на 90° относительно фигуры на плане механизма.

Доказательство. Построим в общем виде план скоростей для механизма, изображенного на рис. 2.4а.

1. Найдем скорость точки А: . Вектор перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения.

2. Определим скорость точки В. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение. На основании теоремы о скоростях точек тела, совершающих такое движение, составим векторное равенство: , где – скорость точки В относительно точки A во вращательном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор перпендикулярен отрезку АВ. Одновременно точка В принадлежит ползуну 3, совершающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, вектор параллелен оси Ох.

Рис. 2.4. К доказательству теоремы подобия для плана скоростей

3. Построим план скоростей (рис. 2.4б):

– из произвольной точки проведем луч, перпендикулярный ОА, в направлении вращения кривошипа 1 и отложим на нем отрезок произвольной длины;

– через точку а проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через полюс – прямую, параллельную оси Ох;

– на пересечении этих прямых получим точку b. Вектор – скорость точки В в масштабе .

4. Определим скорость точки С шатуна 2. На основании теоремы о скоростях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим два векторных равенства:

; ,

где – скорость точки С, относительно точки А во вращательном движении шатуна 2 вокруг А; следовательно, вектор перпендикулярен отрезку АС;

– скорость точки С, относительно точки В во вращательном движении шатуна 2 вокруг В; следовательно, вектор перпендикулярен отрезку ВС.

5. На плане скоростей через точку а проведем прямую, перпендикулярную АС, а через точку b – прямую, перпендикулярную ВС. Их пересечение дает точку с.

В результате построений мы получили на плане скоростей треугольник abc, подобный треугольнику АВС плана механизма. Признак подобия – взаимная перпендикулярность сторон. Таким образом, п.4 и 5 являются непосредственным доказательством теоремы подобия для плана скоростей.

Соединим точку с с полюсом плана скоростей. Вектор – скорость точки С в масштабе .

Пример №3. Построить по исходным данным план скоростей механизма, представленного на рис. 2.5а и определить скорости всех указанных точек, а также угловые скорости звеньев.

Дано: , , , , , .

Построить план скоростей механизма и определить: , , , , , .

Решение: Скорость точки А определяем по формуле (4):

.

На плане скоростей строим отрезок . Тогда масштабный коэффициент скорости по формуле (6) будет равен: .

По теореме о сложении скоростей скорость точки B равна . Из точки а на плане скоростей проводим луч, перпендикулярный АВ, соответствующий вектору скорости , а из полюса проводим луч, параллельный ОВ, т.е. параллельный ходу движения ползуна, соответствующий вектору скорости . Точка пересечения лучей b соответствует концу вектора скорости точки В. Строим план скоростей (рис 2.5б).

Для того чтобы определить численное значение точки В, воспользуемся формулой (7):

.

Найдем скорости остальных точек. Поскольку все точки звеньев совершают плоскопараллельное движение, то воспользуемся для этого теоремой подобия для плана скоростей. Рассмотрим точку S₂. Она принадлежит звену 2 и делит шатун АВ посередине. На плане скоростей точка s₂ также будет делить отрезок аb пополам. Расстояние от полюса до s₂ и будет определять скорость точки S₂.

Точка С тоже принадлежит звену 2 и расположена на расстоянии . На плане скоростей она так же будет отстоять от точка а на расстоянии . Соединяем полюс и точку с – этот и есть вектор скорости точки С.

Рассмотрим точку D. Она принадлежит звену 1. Порядок определения скорости точки D аналогичен точке С. План скоростей построен (рис 2.5б).

После определения направлений скоростей точек на плане скоростей, определим численное значение скоростей точек аналогично определению численного значения скорости точки В:

,

,

.

Рис. 2.5. Иллюстрация к примеру №3

Угловую скорость движения шатуна 2 определяем по формуле (8):

.

Проверим правильность построения плана скоростей (рис. 2.5в). Для того чтобы узнать направления скоростей точек звена 2, построим его мгновенный центр скоростей (МЦС): направление и значение скорости точки А нам известно, а также известна траектория движения ползуна В – МЦС звена 2 лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек A и B. По направлению вектора скорости точки А определяем направление угловой скорости шатуна 2 – . Соединив МЦС с точками S₂ и С, находим направления векторов скоростей этих точек, согласно направлению . Направление скорости точки D перпендикулярно кривошипу 1 и направлено в сторону его вращения.

Из построений видно, что направления векторов скоростей, найденные с помощью обоих методов, совпадают.