4. Метод планов ускорений

Для построения плана ускорений для заданного на рис. 2.2 положения механизма составим векторные уравнения, связывающие ускорения точек звеньев механизма.

Ускорение точки А принадлежащей кривошипу 1, вращающегося с постоянной угловой скоростью определяется формулой:

, (9)

где – вектор нормального ускорения точки А;

– вектор касательного ускорения точки А.

Нормальное ускорение всегда направлено от точки к центру вращения (в нашем случает от точки А к центру О) и определяется формулой:

. (10)

Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения точки и выражается формулой:

, (11)

где – угловое ускорение кривошипа 1.

По условию задачи кривошип вращается равномерно, т.е. , следовательно, здесь (и в последующих примерах) его угловое ускорение равно нулю: .

Подставляя (10) и (11) в уравнение (9) получаем:

. (12)

При построении планов ускорений используют масштабный коэффициент ускорения , который определяется формулой:

, (13)

где – значение ускорения точки А, полученное по формуле (11);

– расстояние на плане ускорений от полюса до точки а (выбирается самостоятельно в соответствии с форматом чертежа, мм).

Поскольку точка В движется плоскопараллельно, то ускорение точки В равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса:

, (14)

где – вектор нормального ускорения точки В относительно полюса А;

– вектор касательного ускорения точки В относительно полюса А;

– вектор ускорения точки В относительно стойки О.

Нормальное ускорение направлено вдоль АВ от точки В к центру вращения – полюсу А и определяется формулой:

. (15)

_{Величина отрезка на плане ускорений, соответствующего значению , определяется формулой:}

. (16)

Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения точки (перпендикулярно АВ) и выражается формулой:

,

где – угловое ускорение шатуна 2 (оно пока не известно).

Поскольку ползун В движется поступательно, то вектор ускорения лежит на прямой, параллельной движению ползуна (в нашем случае параллельно (ОВ)). Строим в общем виде план ускорений для положения механизма, представленного на рис.2.2 (см. рис. 2.6).

Порядок построения плана ускорений следующий: от полюса строим ускорение точки А. Затем из конца вектора проводим отрезок , соответствующий вектору нормального ускорения . Через точку п проводим луч, перпендикулярный . С другой стороны, из полюса проводим луч, параллельный ходу движения ползуна В, соответствующий вектору ускорения . Точка пересечения лучей даст нам ускорение точки В – отрезок P_ab.

Рис. 2.6. План ускорений механизма

Для определения численного значения ускорения точки В, воспользуемся формулой:

, (17)

где – расстояние на плане ускорений от полюса до точки b (мм).

Угловое ускорение движения шатуна 2 определяем по формуле:

, (18)

где – величина отрезка, взятого из плана скоростей (мм).

5. Теорема подобия для плана ускорений

Теорема. Отрезки прямых линий, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений точек на плане ускорений, и отрезки прямых линий, соединяющие одноименные точки на плане механизма, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.

Рассмотрим применение теоремы подобия для плана ускорений на примере механизма, изображенного на рис. 2.7а.

Построим в общем виде план ускорений для этого механизма.

1. Определим ускорение точки А кривошипа. В общем случае , где – нормальное ускорение; – тангенциальное ускорение. Численно ; , поскольку по условию задачи кривошип вращается равномерно. Таким образом, полное ускорение точки А равно ее нормальному ускорению: .

Вектор направлен вдоль звена ОА от точки А к точке О (см. рис. 2.7а).

Рис. 2.7. К теореме о подобии для плана ускорений

2. Определим ускорение точки В шатуна 2. На основании теоремы об ускорениях точек тела, совершающего плоскопараллельное движение, составим векторное равенство: , где – ускорение точки В относительно точки А во вращательном движении шатуна 2 вокруг точки А; так как это движение неравномерное, то , следовательно, , где – соответственно нормальное и тангенциальное ускорения точки В в этом движении.

Вектор направлен вдоль отрезка АВ от точки В к точке А (см. рис. 2.7а), при этом численно . Вектор перпендикулярен отрезку ВА. Точка В одновременно принадлежит звену 3, совершающему возвратно-поступательное движение вдоль оси Ох; следовательно, вектор параллелен оси Ох.

3. Зададимся длиной отрезка , тогда , а длина вектора, изображающего на плане ускорений : .

4. На основании равенства выполним следующие построения (рис. 2.7б):

– из точки проведем луч, параллельный кривошипу ОА, в направлении вектора (см. рис. 2.7а) и отложим на нем отрезок ;

– из точки а проведем луч, параллельный отрезку АВ шатуна 2, в направлении вектора (см. рис. 2.7а) и отложим на нем отрезок ап;

– через точку п проведем прямую, перпендикулярную АВ, а через точку – прямую, параллельную оси Ох; их пересечение дает точку b. Вектор – ускорение точки В в масштабе ;

– соединим на плане ускорений точку b с точкой а.

5. Определим ускорение точки С. Применим теорему подобия для плана ускорений:

– для построения на плане ускорений , подобного , на плане механизма составим две пропорции

и ,

откуда получим

и , (19)

где – длина отрезка на плане ускорений, мм;

АВ, АС, ВС – длины отрезков на плане механизма, мм, которые могут быть получены измерением на плане механизма или взяты из условия задачи.

– используя результаты вычислений по формулам (19), выполним построения. Применим метод засечек: из точки а плана ускорений проведем дугу окружности раствором циркуля, равным ас. Из точки b проведем дугу окружности раствором циркуля, равным bc. Пересечение этих дуг дает точку с. При этом можно получить два положения точки с, но верным является только одно из них. Правильность построений определяется условием сходственного расположения треугольников на плане ускорений и на плане положений механизма: если обходить вершины сторон треугольника АВС по ходу часовой стрелки, то получим последовательность их расположения А, В, С. Значит и при обходе вершин треугольника abc на плане ускорений по ходу часовой стрелки мы должны получить ту же последовательность их расположения – а, b, с. Это условие выполняется только при расположении точки с правее отрезка аb (см. рис. 2.7б).

Соединим точку с с полюсом . Вектор – ускорение точки С в масштабе .

Пример №4. Для заданного механизма (рис. 2.5а) построить план ускорений и определить ускорения всех точек, а также угловые ускорения всех звеньев механизма. Исходные данные взять из примера №3.

Дано: , , , , , , .

Построить план ускорений механизма и определить: , , , , , .

Решение: Ускорение точки А определяем по формуле (12):

.

На плане ускорений отмечаем полюс и строим отрезок в направлении вектора (рис. 2.8а). Тогда масштабный коэффициент ускорения по формуле (13) будет равен: .

По теореме о сложении ускорений при плоскопараллельном движении ускорение точки B равно . Нормальную составляющую ускорения определим по формуле (15):

.

Отрезок на плане ускорений, соответствующий данному вектору нормального ускорения по формуле (16) будет равен:

.

Из точки а на плане ускорений проводим луч, параллельный АВ, в направлении вектора (рис. 2.8а) и отложим на нем отрезок . Через точку п проведем прямую, перпендикулярную АВ (это линия действия вектора ), а из полюса прямую, параллельную ОВ – соответствующую направлению вектора . Их пересечение дает точку b (рис. 2.8б).

Для определения численного значения ускорения точки В, воспользуемся формулой (17):

.

Рис. 2.8. Иллюстрация к примеру №4

Угловое ускорение движения шатуна 2 определяем по формуле (18):

.

Найдем ускорения остальных точек. Поскольку все точки шатуна BC совершают плоскопараллельное движение, то для нахождения их ускорений воспользуемся теоремой подобия для плана ускорений. Рассмотрим точку S₂. Она принадлежит звену 2 и делит шатун АВ посередине. На плане ускорений точка s₂ также будет делить отрезок аb пополам. Расстояние от полюса до s₂ и будет определять ускорение точки S₂.

Точка С тоже принадлежит звену 2 и расположена на расстоянии . На плане ускорений она так же будет отстоять от точки а на расстоянии . Соединяем полюс и точку с – этот и есть вектор скорости точки С.

Рассмотрим точку D. Она принадлежит звену 1. Порядок определения ускорения точки D аналогичен точке С. План ускорений построен.

После определения направлений ускорений точек на плане ускорений, определим численное значение ускорений точек аналогично определению численного значения ускорения точки В:

,

,

.