5.3 Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на равном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы (точка О, рис. 75), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности ACB вокруг своего диаметра AB.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. 

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.

Рис.75

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы окружностью – большой окружностью.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы (рис. 76) Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности.

Рис. 76

Теорема 5.1. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Задача 1. Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения (рис. 77).

Рис. 77.

Решение

1. Так как, d<R, следовательно, сечением шара является круг. Чтобы найти площадь круга, сначала надо найти его радиус.

2. Рассмотрим треугольник AOK – прямоугольный.   - по теореме Пифагора.

3. Подставим значение радиуса в формулу площади круга:  .

Ответ: 1600π дм².

Задача 2. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 14 см, 14 см и 15 см (рис.78).

Рис. 86.

Решение

1. Проведем перпендикуляр OL к плоскости треугольника. Обозначим точки M, N, K – точки касания сторон треугольника и сферы. Так как,  ; OL – общая сторона, значит,  .

2. Из равенства треугольников,  .Следовательно, точка L - равноудалена от сторон треугольника ABC, то есть L-центр вписанной окружности треугольника ABC.

3. Найдем ML.  , где p – полупериметр треугольника ABC.

Отсюда,  .

Чтобы найти OL, рассмотрим   - прямоугольный. По теореме Пифагора,  .

Ответ: 3 см.

Задача 3. 

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Решение: Сделаем рисунок и обозначим все данные (рис. 79).

Рис. 79

1) Треугольник OAP – прямоугольный. По теореме Пифагора

2) 

Ответ: 1 см.

Задача 4. Вершины треугольника АВС лежат на сфере, радиус которой равен 13. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ = 6, ВС = 8, АС=10 (рис.80)

Рис. 80

Решение. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника – это длина перпендикуляра OK. Точка K располагается именно так, как показано на рисунке, потому что   - прямоугольный (проверяется по теореме Пифагора), а AK=KC из равенства треугольников OKC и OKA. Также, если точка K равноудалена от  всех вершин треугольника, то она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Следовательно, точка K – середина AC,  .

Рассмотрим треугольник OKC – прямоугольный. По теореме Пифагора, 

Ответ: 12 см.

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться изображать сферу и шар, их элементы и сечения, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.

1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

2. Радиус шара 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти ее кратчайшее расстояние от поверхности шара.

3. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60^ок нему. Найти площадь сечения.

4. Радиус земного шара R. Чему равна длина окружности параллельного круга, если его широта равны 60^о?

5. Город N находится на 60^осеверной широты. Какой путь описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.

Ответы к задачам.

1.3: 4. 2. 4,8 см.

3. πR^2. 4. πR. 5. 785 км