2.1.2. Параллельность прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ « ». То есть, если прямая a и плоскость α параллельны, то можно кратко записать a α. (рис.10)

Рис.10

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.

Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости.

Теорема 2.6. Если прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна некоторой прямой a₁ , которая лежит в плоскости α, то прямая a параллельна плоскости α (рис.11)

Рис.11

2.1.3. Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ « ». Таким образом, если плоскости α и β параллельны, то можно кратко записать α β.

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга (рис.12)

Отметим, что если плоскости α и β параллельны, то также можно сказать, что плоскость α параллельна плоскости β, или плоскостьβ параллельна плоскости α.

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

При решении геометрических задач часто встает вопрос: «параллельны ли две заданные плоскости»? Для ответа на него существует признак параллельности плоскостей, который представляет собой достаточное условие параллельности плоскостей. Сформулируем его в виде теоремы

Теорема 2.7. Если две пересекающиеся прямые одной  плоскости соответственно параллельны двум  пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны (рис.13) 

Рис.13

Теорема 2.8. Транзитивность параллельности плоскостей. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой (рис.14) 

Рис.14

Свойства параллельных плоскостей

1. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения  параллельны (рис.15) 

Рис.15

2. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую  плоскость (рис.16)

Рис.16

3. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис.17)

Рис.17

4. Через точку, не лежащую на плоскости, можно провести одну и только одну плоскость,  параллельную данной плоскости (рис.18)

Рис. 18

Задача 1. Докажите, что если прямые АВ и СD скрещиваются, то прямые АС и ВD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Если прямые ACи BD не являются скрещивающимися, то они могут быть пересекающимися или параллельными, но в обоих случаях они лежат в одной плоскости α, тогда A α, B∈α, С∈ α,D∈α . Таким образом, прямые ABи СD также лежат в одной плоскости, что невозможно по условию, так как ABиCD скрещивающиеся. Значит,ACиBD - скрещивающиеся, что и требовалось доказать.

Задача 2.Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М_1. Найдите длину отрезка ММ_1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:

1) АА₁ =5 м, ВВ₁ = 7м; 2) АА₁ =3,6 дм, ВВ₁ = 4,8 дм;

3) АА₁ =8,3 см, ВВ₁ = 4,1 см; 4) АА₁ =a, ВВ₁ = в

Рис.19

Решение: Прямые АА_1,ММ₁, ВВ₁ лежат в одной плоскости β (рис.19). Значит, точки А₁,В₁и М₁ лежат на прямой А₁В₁пересечении плоскостей α и β. Рассмотрим далее картинку в плоскости β. По теореме Фалеса М₁ середина отрезка А₁В₁А,значит ММ₁-средняя линия трапеции АА₁В₁В и по теореме о средней линии:

ММ₁= (А₁ + ВВ₁). Тогда:

1. ММ₁ = (5+7) = 6 (м);

2. ММ₁ = (3,6 +4,8) = 4,2 (дм);

3. ММ₁ = (8,3+4,1) = 6,2 (см);

4. ММ₁ = (а +в)

ЗАДАЧИ

Цель. Учиться анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

1.Прямые АВ и СD пересекаются. Могут ли прямые АС и ВD быть скрещивающимися?

2. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М_1. Найдите длину отрезка ММ_1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:

1. АА₁ =5 м, ВВ₁ = 7м; 2) АА₁ =3,6 дм, ВВ₁ = 4,8 дм;

2. АА₁ =8,3 см, ВВ₁ = 4,1 см; 4) АА₁ =a, ВВ₁ = в

Решите задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.

3. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пресекающие плоскость в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ_1, если : 1) СС₁ = 15 см, АС : ВС = 2:3; 2) СС₁ = 8, 1 см, АВ:АС = 11:9; 3) АВ = 6см, АС: СС₁ = 2:5; 4) АС = а, ВС = в, СС₁ = с

4. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма

5. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АD и СD.

6.Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую

7.Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?

8.Параллелограммы АВСД и АВС₁Д₁ лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник СDD₁С₁ тоже параллелограмм.

9. Через вершины параллелограмма АВСD, лежащего в одной их двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А_1, В_1, С_1, D_1. Докажите, что четырехугольник А₁В₁С₁D₁ тоже параллелограмм.

10.Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А_1, В_1, С_1. Докажите равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁.

11. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁ и В_1. Чему равен отрезок А₁В_1, если АВ = а?

Ответы и указания к задачам

1. Указание. Используйте метод от противного

2.1) 1м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см; 4) . 3.1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см;

4) с (1 + ). 11. А₁В₁ = а