2.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей

2.2.1. Перпендикулярность прямых.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными.

Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

Для обозначения перпендикулярных прямых используют знак перпендикулярности вида « ». То есть, если прямые a и b перпендикулярны, то кратко записывают (рис.20)

Рис.20

Теорема 2. 9.

Пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны:

Если , а ||  а₁,    b ||  b_1, то а₁ в₁ (рис.21)

Рис.21

2.2.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

	Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения(рис.22)			Рис.22
Теорема 2.10. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости (рис.23) Свойства перпендикулярных прямой и плоскости			Рис.23
		1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
		2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

2.2.3. Перпендикуляр и наклонная

Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а с другим – на плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной (рис.24)

АС – наклонная,

АВ – перпендикуляр,

СВ – проекция наклонной

С – основание наклонной,

В – основание перпендикуляра

Рис.24

	Теорема 2.10. О трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (рис.25)
АВ- перпендикуляр плоскости α, АС- наклонная и с - прямая в плоскости, проходящая через основание С