Тема 4. Многогранники

4.1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой, которая их ограничивает.

Полуплоскости α и β — грани двугранного угла. C — ребро двугранного угла (рис.33)

Рис.33

Линейным углом двугранного угла называется угол между лучами, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани.

Плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла (рис.34)

γ ⊥ C;

γ ∩ α = AM;

γ ∩ β = MB;

Рис.34

Способы построения линейного угла:

На ребре выбирается точка, через нее в гранях проводятся лучи, перпендикулярные ребру. Угол, образованный этими лучами, и будет искомым линейным углом (рис.35)

∠AMB — линейный

Рис.35

4.2 Многогранник

Многогранник – тело, ограниченное конечным числом плоскостей.

Плоскости, ограничивающие многогранник, называемые гранями многогранника. Другими словами, многогранник – это тело, поверхность которого является объединением некоторого числа многоугольников – граней.

Т

вершина

аким образом, многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис.36)

Рис.36

Стороны граней называют ребрами, а вершины граней – вершинами многогранника.

По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (рис.37)

Рис.37

4.3. Призма. Параллелепипед. Куб.

Призмой  называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис.38)

Рис.38 KLMNP, ABCDE – основания призмы, АК, ЕР, СМ, … - ребра, KR- высота Свойства призмы Основания призмы равны и параллельны. Боковые ребра равны и параллельны. Боковые грани — параллелограммы Различают прямые и наклонные призмы

Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис.39)

Рис.39

Высота прямой призмы равна боковому ребру. H = AA₁ =…

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. ABB₁A₁ — прямоугольник, BCC₁B₁ — прямоугольник, ...

Наклонная призма  - это призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований (рис.40)

Рис.40

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

По виду основания призмы различают треугольные, четырехугольные, п-угольные призмы.

Треугольная, четырехугольная, ..., n-угольная призма — в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник, ..., n-угольник (рис.41)

треугольная	четырехугольная	Пятиугольная	шестиугольная

Рис.41

Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм (рис.42)

Рис.42

Свойства параллелепипеда

1. У параллелепипеда все грани — параллелограммы

2. У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.

3. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам (рис.43)

О - середина A₁C, BD₁, AC₁, B₁D O — центр симметрии параллелепипеда

С₁

Рис.43

Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований (рис.44)

Рис.44

У прямого параллелепипеда четыре боковые грани — прямоугольники, а два основания — параллелограммы

Наклонный параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований (рис.45)

Рис.45

У наклонного параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник (рис.46)

Рис.46

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называются его измерениями.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.d² = a² + b² + c² (AC₁² = AB² + AD² + AA₁²).

3. В прямоугольном параллелепипеде все 4 диагонали равны между собой.

4. V_{прямоуг. парал.} = AB × AD × AA₁ = abc.

5. S_бок. = P_осн. × AA₁ = 2 (AB + AD) × AA₁ = 2 (a + b) c;

6. S_полн. = S_бок. + 2S_осн..

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (рис.47)

Рис.47

Свойства куба

1. У куба все грани — квадраты.

2. a√3 (d² = a² + a² + a², где a — ребро куба, d — диагональ куба).

3. V_куба = a³.

4. S_{бок. куба} = 4a²; S_{полн. куба} = 6a²

Задача 1.Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30^о. Найдите высоту призмы (рис.48)

Рис.48

ВО - перпендикуляр в основанию, так что ∆АВО- прямоугольный.

Значит ВС=АВ∙sinВАС=1,5∙sin30^o =7,5 (см)

Ответ: 7,5 см.

Задача 2. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна

12 м². Найти высоту.

Решение:

Так как все ребра равны, то боковые грани являются квадратами. Площадь одной грани равна трети площади боковой поверхности: 12: 3 = 4 (м²). Значит, сторона квадрата равна = 2 (м). Тогда ребро призмы равно высоте и равно 2м.

Ответ: 2 м.

Задача 3. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 32 м², а полная поверхность равна 40 м². Найти высоту.

Решение:

Так как площадь поверхности S = S_бок + 2S_осн, то площадь поверхности основания равна S_осн = (40 – 32): 2 = 4 (м²).

В основании находится квадрат, так как призма правильная, так что сторона квадрата равна = 2 (м).

Боковая поверхность правильной призмы равна: S_бок = р∙h = 4а∙h, так что

h = S : (4а) = 32: (4∙2) = 4 (м²)

Ответ: 4 м.

Задача 4. В правильной четырехугольной призме площадь основания равны 144 см², а высота рана 14см. Определить диагональ этой призмы.

Решение:

Так как призма правильная, то в основании ее лежит квадрат и его площадь равна :S=a²

Тогда a=

Далее, заметим, что правильная четырехугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, так что квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений, так что:

d ²=a²+a²+h²=12²+12²+14²=484, d= 22(см)

Задачи

Цель. Учиться изображать основные многогранники, выполнять чертежи по условиям задач; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

1. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5м, стороны основания равны 6м и 8м, одна из диагоналей основания равна 12м. Определить диагонали параллелепипеда.

2. В прямом параллелепипеде стороны основания 3см и 5см, одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол в 60^о. определить диагонали параллелепипеда.

3. Поверхность куба равна 24 м². Найти его ребро

4. Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22см, 16 см.

5. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 м и 8м и образуют угол в 30^о; боковое ребро равно 5 м. Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

6. Определить полную поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50 см, а стороны основания 40 см, 13 см, 37 см.

7. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25 дм, 29 дм и 36 дм, а полная поверхность содержит 1620 дм². Определить боковую поверхность призмы.

8. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы: 2 см, 3см, 4 см. Боковая поверхность равна 45см². Найти боковое ребро.

Ответы к задачам

1.13 м и 10 м. 2. 8 см и 10 см. 3. 2м. 4. 1464 см². 5. 188 м² . 6. 4980 дм². 7. 9м²