Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема.
(Теорема
Дирихле)
Если функция
f(x)
имеет период 2
и на отрезке [-;]
непрерывна или имеет конечное число
точек разрыва первого рода, и отрезок
[-;]
можно разбить на конечное число отрезков
так, что внутри каждого из них функция
f(x)
монотонна, то ряд Фурье для функции f(x)
сходится при всех значениях х, причем
в точках непрерывности функции f(x)
его сумма равна f(x),
а в точках разрыва его сумма равна
,
т.е. среднему арифметическому предельных
значений слева и справа. При этом ряд
Фурье функции f(x)
сходится равномерно на любом отрезке,
который принадлежит интервалу
непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция,
удовлетворяющая условиям этой теоремы,
называется кусочно
– гладкой на
отрезке [-;].
Причем в точках
сумма
ряда равна
.
П
ример.
Разложить
в ряд Фурье функцию f(x)
периода
,
заданную на отрезке
формулой
Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит она разложима в ряд Фурье. Найдем коэффициенты:
,
Аналогично
находим
Исходной функции f(x) соответствует ряд Фурье:
.
Функция f(x) непрерывна во всех внутренних точках отрезка , поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенство
В
точках
сумма S(x)
ряда равна
.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
;
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пример.
Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию
с периодом T
= 2
на отрезке [-;].
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
Получаем:
.
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
Ряды Фурье для функций любого периода.
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
Для
нечетной функции:
Пример. Разложить функцию f(x)=x на интервале (-4;4) в ряд Фурье.
Данная
функция нечетная, удовлетворяет условиям
Дирихле. По соответствующим формулам
имеем, при
:
.