Некоторые приложения степенных рядов Приближенное вычисление значений функций

Пусть требутся вычислить значение функции f(x) при х=х₁ с заданной точностью 0. Если функцию f(x) в интервале(-R;R) можно разложить в степенной ряд:

, то точное значение f(x₁) равно сумме этого ряда при х=х₁, т.е. , а приближенное – частной сумме . Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. .

Таким, образом, ошибку можно найти оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа . В остальных случаях (ряд знакопеременный и знакочередующийся) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большеми членами (обычно этосходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Пример. Найти с точностью до 0,001.

Согласно формуле . Стоящий справа ряд сходится абсолютно. Так как , то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно трех слагаемых: .

Допускаемая ошибка при этом меньше, чем первый отброшенный член.

Приближенное вычисление определеного интеграла

Пусть требуется вычислить . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интерирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример. Вычислить интеграл с точностью до .

Расскладываем подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменив х на (-х²):

. Интегрируя обе части равенства на отрезке [0;1/4], лежащем внутри интервала сходимости, получаем:

Получили ряд лейбницевского типа. Так как , а , то с точностью до 0,001 имеем: .

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

Это решение можно представить степенным рядом:

Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:

Итого:

Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.

После подстановки полученных значений получаем: