2) Дифференцирование степенных рядов.

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Коэффициенты с_i находятся по формуле:

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов q_n рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Следствие: Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Другими способами разложения функции в степенной ряд осуществляется с помощью ряда Тейлора и Маклорена.

Формула Тейлора для функции f(x), определенной в окрестности точки х₀ и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, имеет следующий вид:

(1),

где - остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде . Формулу кратко можно записать в виде , P_n – многочлен Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки х₀ и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (х-х₀), называемое рядом Тейлора: (2).

Если в ряде Тейлора положить х₀=0, то получим разложение функции по степням х в так называемый ряд Маклорена: .

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е.

Доказательство.

Пусть ряд Тейлора сходится к функции f(x) в некоторой окрестности точки х₀, т.е. . Так как n-я частная сумма S_n(x) ряда Тейлора совпадает с многочленом Тейлора P_n(x), т.е. S_n(x)=P_n(x), находим:

.

Обратно, пусть . Тогда

. Ч.т.д.

Вывод: Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд сведена по существу к определению значения х, при котором .

Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора). Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки х₀ одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение (2).

Доказательство.

Согластно предыдущей теореме, достаточно показать, что . По условию теоремы для любого n имеет место неравенство: . Тогда имеем:

.

Осталось показать, что . Для этого рассмотрим ряд . Так как , то признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимости признака сходимости, . Следовательно, . Ч.т.д.

Алгоритм разложения функции f(x) в ряд Маклорена, нужно:

1. найти производные;

2. вычислить значения производных в точке х₀=0;

3. написать ряд (3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4. найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой ряд существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание: В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .

Таблица разложений некоторых элементарных функций в рядэ

Доказательство. Разложить в ряд функцию .

Имеем:

1)

2)