Признак Коши (радикальный признак).

Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство ,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство то ряд расходится.

Теорема. Если существует предел , то при <1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.

Если l = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Доказательство аналогично доказательству признака Даламбера.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

Применим признак к ряду без множителя 2, так как

- сходится. Тогда по свойству числовых рядов, исходный ряд тоже сходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

- Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

, таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;) функции f(x) так, что u₁= f(1), u₂=f(2),…, u_n=f(n) …, то:

1. если несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится;

2. если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n.

П остроим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3],.. Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:

или , или

.

Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем S_n-u₁<A, т.е. S_n<A+u₁. Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится. Ч.т.д.

Пример. Рассмотрим ряд

сходится при >1 и расходится 1. Ряд называется общегармоническим рядом.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

ряд расходится.

Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

, где

Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. Общий член стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам: .

Доказательство.

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма S_2m>0 и возрастает с возрастанием номера 2m.

С другой стороны, S_2m можно переписать так:

Легко видеть, что S_2m<u₁. Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем . Ч.т.д.

Замечания:

1. Исследование знакочередующегося ряда вида сводится к стандартному путем умножения всех его членов на (-1);

2. Соотношение позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которая допускается при замене суммы S данного ряда его частичной суммой S_n. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда.

Определение. Числовой ряд содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Знакочередующийся ряд является его частным случаем.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (1). Если сходится ряд (2) составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (1) и (2):

.

Очевидно, что для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства чыисловых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то, на основании свойства числовых рядов, ряд (1) сходится. Ч.т.д.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов .

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей его членов расходится.