4.5.8. Гіпотеза про рівність двох ймовірностей біноміальних розподілів

Нехай в двох генеральних сукупностях проводяться незалежні випробування: в результаті кожного випробування подія А може появитися в першій сукупності з невідомою ймовірністю , а в другій – з невідомою ймовірністю . За вибірками, взятими з першої та другої сукупності, знайдені відповідні частоти: , де – числа появи події А, а - кількості випробувань. За оцінки невідомих ймовірностей приймають відповідно частоти .

Потрібно для заданого рівня значущості перевірити нульову гіпотезу . Для її перевірки використовується статистика:

. (4.32)

При альтернативних гіпотезах: , , де –розв’язок рівняння при В останніх двох випадках - розв’язок рівняння .

Приклад 4.19. При аналізі результатів семестрових екзаменів з деякого предмету на першому та другому курсах отримано, що зі 110 студентів першого курсу 16, а зі 106 студентів другого курсу 17 отримали негативну оцінку. Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про те: що однаковий процент студентів першого та другого курсів отримали негативну оцінку при альтернативній гіпотезі .

Розв’язок. За формулою (4.32) обчислюємо оцінку

.

За таблицею 2 у додатку отримуємо, що . Оскільки , то нема підстав відкинути нульову гіпотезу.

Контрольні запитання і задачі

1. Що називається статистичною гіпотезою?

2. Що таке альтернативна гіпотеза і як вона вибирається?

3. Які ви знаєте види гіпотез?

4. Яка гіпотеза називається простою, а яка складною?

5. Що називається критерієм узгодження?

6. Яка область називається критичною, а яка областю прийняття гіпотези?

7. Що таке критична точка?

8. Які ви знаєте види критичних областей ? Дайте їх визначення.

9. Який зміст помилок першого і другого родів?

10. Яку величину називають надійністю критерію, а яку – потужністю?

11. Яку статистику використовують у двовибірковому критерії узгодження М.В. Смірнова і який вона має розподіл?

12. Яку статистику вибирають у критерії і який вона має розподіл?

13. Наведіть загальну схему перевірки гіпотези про розподіл за допомогою критерію .

14. Для яких випадкових величин використовують критерій Колмогорова?

15. Наведіть приклади основних параметричних гіпотез і дайте їх коротку характеристику.

16. При експертній оцінці вагомості фактору “Економічна ситуація на підприємстві і в галузі”, який впливає на внутрішньогосподарський ризик, групою 20 експертів отримано наступні результати: 30, 10, 0, 20, 10, 13, 15, 2, 10, 15, 16, 2, 5, 10, 5, 10, 0, 5, 0, 8. Перевірити вибірку на однорідність для рівня значущості .

17. При експертній оцінці вагомості факторів, що впливають на внутрішньогосподарський ризик, двома експертами отримано наступні результати:

І	8	30	11	5	10	3	4	5	5	6	8	3	2
ІІ	5	10	21	5	30	5	5	5	1	1	1	1	10

Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про однорідність оцінок обох експертів при альтернативній гіпотезі .

18. При експертній оцінці вагомості факторів «Комплексний і незвичний характер операцій та їх складність» та «Капітальні вкладення», які впливають на внутрішньогосподарський ризик, групою з 20 експертів отримано наступні результати:

	5	5	5	5	3	3	10	10	8	8	3	1	4	0	3	5	5	10	3	4
	6	1	0	2	6	4	5	8	4	2	8	3	2	10	2	5	7	5	8	8

Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу про співпадання розподілів оцінок обох факторів.

19. В результаті проведення двох вибірок об’ємами і при дослідженні деякої ознаки в генеральній сукупності отримано такі середні значення і . Зробивши припущення про те, що дана ознака в генеральній сукупності нормально розподілена, необхідно перевірити гіпотезу при альтернативній гіпотезі , якщо .

20. В умовах прикладу 17, допустивши, що оцінки експертів розподілені нормально, для рівня значущості перевірити нульові гіпотези:

а) при ; б) при .

21. При експертній оцінці вагомості фактору “Використання кредитів банку”, що впливає на внутрішньогосподарський ризик, отримані наступні результати: 8,1,0,5,10,4,6,5,5,6,2,10,2,10,2,10,10,5,6,3. Допустивши, що дані оцінки розподілені нормально, для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу , при альтернативній гіпотезі .

22. Роботу групи експертів при оцінюванні вагомості впливу факторів на різні види ризику, вважають узгодженою, якщо дисперсія результатів оцінювання не повинна перевищує .З результатів оцінювання взяли вибірку 10,30,25,20,20,25,15,15,13,9,5,5,25,15,30,10,15,10,25,20. Допустивши, що результати оцінювання розподілені нормально, для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі .

23. Трьома експертами за 100 бальною шкалою проведена оцінка вагомості всіх факторів, що впливають на внутрішньогосподарський ризик і отримані наступні результати.

І	15	16	10	3	5	13	8	3	7	8	2	1	9
ІІ	8	2	7	3	5	5	40	1	3	3	10	3	10
ІІІ	5	5	10	2	25	15	8	4	4	2	2	8	10

Чи можна для рівня значущості стверджувати про узгодженість оцінок експертів. (Припускається, що оцінки експертів розподілені нормально).

24. Для аналізу результатів вступних випробувань з мови ( х_і) та математики (у_і) взята вибірка об’ємом n = 45 і отриманий наступний емпіричний розподіл:

	58	58	58	52	44	44	54	52	54	44	54	56	56	50	52	50	50	50	52
	50	50	46	44	51	49	37	39	37	46	36	33	33	39	36	37	37	36	34

	56	46	52	56	56	50	56	48	52	56	50	58	50	48	38	40	50	50
	30	40	33	29	28	34	28	36	32	28	33	25	33	35	45	42	34	34

	56	48	52	56	50	58	50	48	38	40	54	50	46	44	46	32	48	48	44	30
	28	36	32	28	33	25	33	35	45	42	27	28	31	29	27	28	22	17	21	28

Для рівня значущості перевірити чи значимо відрізняються результати вступних випробувань з мови і математики між собою, за умови, що вони розподілені нормально.

25. При аналізі результатів семестрового екзамену з деякого предмету отримано, що зі 106 студентів в першому семестрі 22 отримали негативну оцінку. Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі Н₁: .

26. При аналізі результатів семестрових екзаменів з деякого предмету зі 106 студентів в першому семестрі 22 отримали негативну оцінку, а в другому 16. При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при альтернативній .

27. Дані про розподіл підприємств легкої промисловості в області за розподілом продуктивності праці (в % до попереднього року) представляються вибіркою.

98	121	110	110	100	100	93	100	101	129
114	100	100	91	119	118	107	107	104	100
116	80	91	93	118	114	103	102	101	101
94	100	126	101	111	114	101	109	116	114
95	87	93	127	118	111	102	111	103	104
116	100	101	119	119	109	105	106	103	99
102	104	96	105	102	119	103	107	116	106
97	98	94	106	94	109	104	106	102	107
107	101	102	103	105	104	107	105	105	104
106	107	103	104	106	105	109	107	107	105

Для рівня значущості перевірити гіпотезу про нормальність розподілу генеральної сукупності.

28. Реєструвався час прибуття студентів в читальний зал бібліотеки з 11 до 18 год. і отримали наступні результати:

	[11-12)	[12-13)	[13-14)	[14-15)	[15-16)	[16-17)	[17-18]
	18	10	11	19	23	35	28

Для рівня значущості перевірити гіпотезу про те що час прибуття студентів в читальний зал розподілений рівномірно.

29. В результаті реєстрації часу прибуття 800 відвідувачів виставки, одержано наступний емпіричний розподіл:

	259	167	109	74	70	47	40	34

де – інтервали часу, а k_і – кількість відвідувачів, які прийшли на виставку протягом даного інтервалу часу. Для рівня значущості перевірити гіпотезу про те, що час прибуття відвідувачів на виставку розподілений за показниковим законом.

30. При перевірці 200 контейнерів зі скляними виробами встановлено, що число пошкоджених виробів має розподіл

	0	1	2	3	4	5
	95	65	27	8	3	2

Для рівня значущості перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина =(число пошкоджених виробів) має розподіл Пуассона.