Тема 6. Многогранные поверхности

6.1. Общие сведения. Виды многогранников

6.1. Общие сведения. Виды многогранников

 

Все поверхности можно разделить на две большие группы: многогранные и кривые поверхности.

 

Многогранная поверхность − это поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

 

Многогранник − это тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников.

 

Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения − ребрами. Точки пересечения ребер называютсявершинами (рис. 6.1).

Рис. 6.1

 

Наиболее распространенные многогранники − призмы и пирамиды. Призму, ребра которой перпендикулярны основанию, называют прямой. Если в основании прямой призмы − прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Среди большого числа разновидностей многогранников особую группу составляют правильные выпуклые многогранники. У правильных многогранников длина всех ребер одинакова, линейные углы равны, в вершинах сходится одинаковое число ребер. Около каждого правильного многогранника можно описать сферу, в каждый правильный многогранник можно вписать сферу.

 

Правильные многогранники «тела Платона» − этомногогранники, у которых все грани − правильные и равные многоугольники, а углы при вершинах равны.

 

Существует всего пять правильных многогранников.

1. Четырехгранник (тетраэдр) ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками (рис 6.2). Тетраэдр − это правильная трехгранная пирамида. Каждая из четырех граней может быть выбрана ее основанием. Центры граней тетраэдра могут служить вершинами вписанного в него другого тетраэдра меньшей величины.

 

 

Рис. 6.2

 

2. Шестигранник (гексаэдр), или куб. Его поверхность состоит из шести равных квадратов (рис. 6.3). В каждой вершине сходятся три грани и три ребра. Куб представляет собой частный случай призмы и параллелепипеда.

 

Рис. 6.3

 

3. Восьмигранник (октаэдр − бипирамида (би - два). Две пирамиды соединяются общим основанием. Поверхность октаэдра состоит из восьми равносторонних и равных треугольников (рис. 6.4). Куб и октаэдр имеют одинаковое число ребер. В октаэдр может быть вписан куб, а в куб − октаэдр так, что вершины одного многогранника совпадут с центрами граней другого. Такие многогранники называются взаимно соответствующими.

Рис. 6.4

4. Двенадцатигранник (додекаэдр) ограничен двенадцатью равными равносторонними пятиугольниками, соединенными по три в каждой вершине. Додекаэдру соответствует правильный двадцатигранник.

5. Двадцатигранник (икосаэдр) ограничен двадцатью равными равносторонними треугольниками, соединенными по пять в каждой вершине. В икосаэдр можно вписать додекаэдр. Икосаэдр и додекаэдр также являются соответствующими многогранниками.

6.2. Эпюры призм и пирамид

6.2. Эпюры призм и пирамид

 

Грани призм и пирамид ограничиваются ребрами, являющимися прямолинейными отрезками, пересекающимися между собой. Поэтому построение эпюров призм и пирамид сводится по существу к построению проекций точек (вершин) и отрезков прямых − ребер.

Призматическая поверхность на эпюре может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основания призмы. На эпюре основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Эпюр призмы с треугольным основанием АВС, принадлежащим плоскости Н приведен на рис. 6.5. Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой.

Рис. 6.5

 

Для изображения поверхности пирамиды на эпюре используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку их пересечения − вершину. На эпюре пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченной пирамиды −проекциями обоих оснований и ребер.

На рис. 6.6 приведен эпюр неправильной треугольной пирамиды с вершиной S и основанием АВС, принадлежащим плоскостиН.

Рис. 6.6

6.3. Построение недостающих проекций точек на поверхности призмы и пирамиды

6.3. Построение недостающих проекций точек на поверхности призмы и пирамиды

 

На эпюрах призм и пирамид часто приходится по одной проекции строить недостающие проекции линий и точек, расположенных на поверхности этих тел.

Для построения недостающей проекции точки, принадлежащей гранной поверхности, можно использовать прямые линии частного и общего положения, принадлежащие граням поверхности и проходящие через заданную проекцию точки.

 

Недостающие проекции точек на поверхности призм и пирамид по заданным проекциям строятся по принадлежности ребрам (прямым линиям) и граням (плоскостям).

 

Рассмотрим решение такой задачи.

Дан эпюр треугольной прямой призмы и фронтальная проекция 1' точки I (рис. 6.7). Построить горизонтальную и профильную проекции этой точки.

Прежде всего, надо отыскать на эпюре две проекции грани, на которой расположена точка I. На эпюре видно (рис. 6.7), что точка I лежит на грани призмы СВ. Фронтальная проекция а' точки I лежит на фронтальной проекции с′b′ грани призмы. На горизонтальной проекции cb этой грани находится горизонтальная проекция 1 точки I. Профильную проекцию призмы и точки I строят, используя линии связи.

Пусть задана фронтальная проекция 1' точки I, расположенной на грани АSD четырехугольной правильнойпирамиды, и требуется найти недостающие проекции этой точки (рис. 6.8). Для решения этой задачи через заданную фронтальную проекцию 1′ точки I проводят вспомогательную прямую a′f ′, принадлежащую ее грани. Профильную проекцию a′′f ′′ вспомогательной прямой находят с помощью линии связи. Искомая профильная проекция 1′′ точки Iнаходится на пересечении линии связи, проведенной из точки а', с профильной проекцией a′′f ′′ вспомогательной прямой. Горизонтальную проекцию этой точки находят по линиям связи.

Часто для решения задачи на построение недостающих проекций точки I по заданной ее проекции используют в качестве вспомогательной прямой горизонталь (на рис. 6.8 − ЕI).

 

Рис. 6.7

 

Построение недостающих проекций точки II на поверхности пирамиды по заданной фронтальной проекции 2′показано на рис. 6.8.

Рис. 6.8