14.5.1. Деление отрезка прямой линии в заданном отношении

 

Общие сведения. При построении перспектив фасадов зданий и сооружений очень часто приходится делить отрезки прямых на пропорциональные части.

Известно, что параллельные прямые делят пересекающуюся с ними прямую на отрезки, пропорциональные расстоянию между параллельными прямыми. Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 1:2 (рис. 14.11, а), проведем через точку Апроизвольную прямую, на которой откладываем отрезок АВ₁ таким образом, чтобы точка D₁ делила указанный отрезок в отношении 1:2. Через точку D₁ проведем прямую, параллельную ВВ₁. Эта прямая пересечет отрезок АВ в точке D, которая разделит отрезок АВ в заданном отношении 1:2.

Отрезок прямой АВ задан в перспективе, лежит в предметной плоскости и пересекает основание картины (рис. 14.11 ,б). На основании картины от точки А отложим отрезки Аd₀ и d₀b₀  таким образом, чтобы Аd₀/d₀b₀ =1:2. Через точки b₀ и Впроводим прямую и отмечаем на линии горизонта точку схода этой прямой F. Через точки d₀ и F проводим прямую, которая пересечет АВ в точке D и разделит отрезок АВ в заданном отношении 1:2.

Используем рассмотренный прием при вычерчивании на фасаде здания оконных и дверных проемов (рис. 14.12).

Для переноса с ортогональной проекции (рис. 14.12, а) на перспективу (рис. 14.12, б) точек 1₀, 2₀, 3₀,…, 6₀, целесообразно использовать полоску бумаги. Дальнейшее построение понятно из чертежа. При этом точка F₃ определяется с помощью прямой b₀b.

 

Рис. 14.11

 

 

Рис. 14.12

Отрезок прямой АВ лежит в предметной плоскости и не пересекает основание картины (рис. 14.11, в). Чтобы разделить заданный отрезок в отношении 1:2, проводим через его концы параллельные прямые FА и FВ, которые отсекут на основании картины отрезок а₀ b. Разделим этот отрезок в заданном отношении и через полученную точку d₀ проводим прямую, параллельную ранее построенным. Последняя пересечет отрезок в точке D, которая и будет делить отрезок АВ в заданном отношении.

Отрезок прямой АВ не лежит на предметной плоскости (рис. 14.11, г). Чтобы разделить заданный отрезок в отношении 1:2, делим сначала в заданном соотношении его вторичную проекцию аb. Через полученную точку d проводим линию связи и на отрезке АВ отмечаем точку D, которая делит отрезок в заданном отношении.

 

14.5.2. Построение перспективы окружности

 

Перспективу окружности – эллипс – рекомендуется строить при помощи описанного квадрата.

Окружность расположена в предметной плоскости. Стороны квадрата проводят параллельно и перпендикулярно основанию картины (рис. 14.13). Затем строят перспективу этого квадрата.

Так как стороны квадрата АВ и ED перпендикулярны картинной плоскости, поэтому они имеют точку схода в главной точке картины Р. Из восьми точек, которые показаны на рис. 14.13, четные расположены на серединах квадрата, нечетные – на диагоналях. Середины сторон, перпендикулярных к картине, определены с помощью прямой, которая проходит через центр симметрии квадрата – точку С. Перспектива окружности построена с увеличением линейных размеров в два раза.

Окружность расположена в вертикальной плоскости (рис. 14.14). Четырехугольник А_кВ_кb_ка_к представляет собой перспективу половины квадрата, в которую необходимо вписать полуокружность.

Центр этой арки (точка О_к) и середина стороны А_кВ_к (точка 2_к) получены с помощью прямой, проходящей через центр симметрии четырехугольника (точка R_к).

Точки 1_к и 3_к, в которых искомая окружность пересекает полудиагонали квадрата (О_кА_к и О_кВ_к), построены путем перспективного деления отрезков в данном отношении.

Так как отношение диаметра вписанной в квадрат окружности к диагонали квадрата составляет 1:2 = 7:10, то таким же будет и отношение радиуса окружности к полудиагонали квадрата.

С помощью прямоугольного равнобедренного треугольника А_кМа_к в данном отношении делится вертикальный отрезок А_ка_к(а_кN / а_кА_к = 1/2), а затем прямая NF_к, параллельная АВ, в том же отношении разделит и полудиагонали квадрата.

 

 

Рис. 14.13

 

 

Рис. 14.14

14.6. Тени в перспективе

14.6. Тени в перспективе

 

Общие положения. Чтобы изображения объектов в перспективе были более наглядными, их дополняют тенями. В начертательной геометрии направление лучей света принимают параллельно плоскости картины под любым углом к предметной плоскости. В этом случае лучи будут параллельны между собой, а вторичные проекции лучей света параллельны основанию картины tt. Для удобства построения лучей света примем угол наклона их к предметной плоскости равным 45º.

Тень от точки. Чтобы построить тень от точки А на предметную плоскость Т (рис. 14.15), через А проводим луч света, а через а – вторичную проекцию луча. Тень А_Т от точки А на плоскость Т будет в пересечении луча и его вторичной проекции.

 

Рис. 14.15

 

Тень от прямой линии. Чтобы построить тень от отрезка прямой АВ (рис. 14.16, а), достаточно построить тени от точек А и В.

 

Рис. 14.16

 

Тень от прямой ЕD (рис. 14.16, б), перпендикулярной предметной плоскости Т, совпадает со вторичной проекцией луча, проведенного через вторичную проекцию прямой еd.

Тень от прямой КL (рис. 14.16, в), параллельной предметной плоскости Т, будет параллельна данной прямой и в перспективе будет направлена в общую точку схода F.

Тень от прямой MN (рис. 14.16, г), пересекающей предметную плоскость Т, будет проходить через точку пересечения М. Тень от вертикальной прямой на вертикальную плоскость вертикальна.

Чтобы построить тень от кривой линии, строят тень от ряда точек этой кривой и полученные тени от точек соединяют плавной кривой линией.

Тени цилиндра. Граница освещенной и теневой поверхностей цилиндра является линией касания световых лучей с поверхностью цилиндра (рис. 14.17, а). Падающую тень дает только та освещенная часть контура собственной тени, которая расположена на границе между светом и тенью.

 

Рис. 14.17

 

Чтобы определить границу освещенной и теневой поверхностей цилиндра, нужно провести проекции лучей касательно к нижнему основанию цилиндра. Точки касания определяют те образующие цилиндра, тень от которых составляет прямолинейный контур падающей тени. Для завершения построения контура падающей тени надо построить еще тени от тех точек верхнего основания цилиндра, которые расположены на границе освещенной и теневой частей, т.е. от правой половины окружности.

Тени конуса и призмы. Построение падающей и собственной теней призмы и конуса показано на рис. 14.17, б и 14.18 и понятно по чертежу.

Тени на фрагментах зданий (рис. 14.19 и 14.20). Порядок построения виден из рисунков. При этом на рис. 14.20 вертикальные ребра карниза и цоколя лежат в одной плоскости, поэтому тени от них расположены на одной линии.

Способ обратного луча. На рис. 14.21, а показано применение этого способа при построении тени от вертикального отрезка А'В' на наклонную плоскость Q. Сначала построены падающие тени от всех точек на предметную плоскость. Отмечена точка преломления – точка  и построена тень от отрезка А'В' на плоскость V. Затем отмечена точка ₀, через которую проведен световой луч в обратном направлении до пересечения с отрезком ЕС в точке . Тень от отрезка А'В' на плоскость Q получена при соединении точек  и .

 

 

Рис. 14.18

 

Рис. 14.19

 

Рис. 14.20

 

На рис. 14.21, б тень от отрезка А'В' на плоскость Q построена как линия пересечения плоскости Q с лучевой плоскостью R, которая определяется множеством лучей, проходящих через отрезок А'В'. R₁ – след лучевой плоскости на предметную плоскость.

Тени от балкона. На рис. 14.22 построены тени от балкона на вертикальную плоскость Q. Через вторичную проекцию точки А (точку А₁) проведена проекция луча до пересечения с плоскостью Q – точка , в которой восстановлен перпендикуляр до пересечения с лучом, проходящим через точку А. Тень от вертикального отрезка АВ(А₀В₀) параллельна самому отрезку, так как АВQ. Тень от отрезка ВD имеет начало в точке D₁, так как в этой точке отрезок ВD пересекает плоскость Q.

Тень от горизонтального отрезка АС (А₀С₀) параллельна самому отрезку, так как АСQ и направлена в точку схода, которая расположена слева за пределами рисунка. Тень от отрезка ЕС имеет начало в точке Е, в которой отрезок ЕС пересекает плоскость Q.

 

 

 

Рис. 14.21

 

 

Рис. 14.22

 

Построение теней схематизированного сооружения (рис. 14.23). Сначала построены падающие тени от всех точек на предметную плоскость. Отметив точку преломления тени от отрезка 36 – точку , построена тень от точки 3на плоскость V – точка 3_v. Продолжив вверх плоскость V, находим точку ее пересечения с отрезком 36 – точка , которая является началом тени от данного отрезка на плоскость V. Соединив точки  и 3_v, получим точку , в которой тень преломляется и падает на плоскость Q. Продолжив плоскость Q, находим точку пересечения отрезка 36 с плоскостью Q – точка М, которая является началом тени от отрезка 36 на плоскость Q и соединяем ее с точкой преломления .

 

 

Рис. 14.23