8.1 Неявный метод Эйлера
Рассмотрим семейство неявных методов Эйлера [70, 86], являющихся одними из наиболее простых неявных одношаговых сильных численных методов:
Рис.
8.1. Результат численного эксперимента
8.1 при
.
Рис.
8.2. Результат численного эксперимента
8.1 при
.
где
;
— разбиение промежутка
такое, что
,
;
;
;
— стандартный
m-мерный
винеровский процесс с независимыми
компонентами
;
.
Очевидно,
что при
численный
метод (8.1) трансформируется в явный
метод Эйлера, а при
;
он является обобщением детерминированного
метода трапеций.
Численный эксперимент 8.1 (рис. 8.1, 8.2). Для стохастического дифференциального уравнения Ито
смоделировать
2000 (M
= 20 групп по N
= 100 реализаций) независимых реализаций
случайной величины
при
Т = 1.
а = b
= 1.5
по формуле
и
с помощью неявного метода Эйлера (8.1)
при
и 1,
взяв в (8.1)
.
Здесь
— независимые стандартные гауссовские
случайные величины. Вычислить оценку
ошибки
по формуле (7.3)
(
определяется из (8.1))
и 90%-й доверительный интервал для
.
Повторить вычисления при
и изобразить графически зависимость
с 90%-ми доверительными интервалами для
при указанных значениях
.
Численный эксперимент 8.2 [86] (рис.8.3-8.5). Для стохастического дифференциального уравнения Ито
смоделировать
2000
(M = 20
групп
no
N = 100
реализаций)
независимых
реализаций векторной случайной величины
при
по
формуле
и
с помощью неявного метода Эйлера (8.1)
при
,
взяв
в (8.1).
Здесь
— независимые стандартные гауссовские
случайные величины. Вычислить оценку
ошибки
по формуле (7.3)
(
определяется
из (8.1))
и 90%-й доверительный интервал для
.
Повторить вычисления при
и изобразить графически зависимость
с 90%-ми доверительными интервалами
для
при указанных значениях
.
Повторить вычисления при
и
.
Нетрудно видеть, что система, описанная в эксперименте 8.2, является жесткой. Сравнивая рис. 8.3-8.5, можно прийти к выводу [86], что явный метод Эйлера (см. рис. 8.3) проявляет себя не достаточно эффективно относительно жестких систем при уменьшении шага интегрирования. В то же время неявные методы Эйлера (см. рис. 8.4, 8.5) показывают достаточно хорошее поведение. Это различие между явными и неявными сильными численными методами проявляется и при использовании более точных численных методов [86]. Численный эксперимент 8.2 проведен независимо от [86]. При этом мы получили численные результаты, которые очень близки к результатам из [86].
Далее в этой главе рассмотрим более точные неявные одношаговые численные методы. Обоснование их сходимости будет дано в конце данной главы. Также будет показано, что при подходящих условиях численный метод (8.1) имеет порядок сильной сходимости 0.5.
Рис. 8.3. Результат численного эксперимента 8.2 при .
8.2 Неявные одношаговые методы, основанные на разложениях Тейлора-Ито
8.2.1 Методы порядка точности 1.0
Рассмотрим однопараметрическое семейство неявных численных методов Г.Н. Милынтейна [70]. При покомпонентной форме записи эти методы имеют вид
Рис. 8.4. Результат численного эксперимента 8.2 при .
Рис. 8.5. Результат численного эксперимента 8.2 при .
здесь
и далее в этом разделе
;
;
;
;
.
Рис. 8.6. Результат численного эксперимента 8.3 при .
Рис. 8.7. Результат численного эксперимента 8.3 при .
Следует
отметить, что при
из (8.3) получим явный численный метод
Г.Н. Милынтейна (7.35). Если
(8.3) можно рассматривать как обобщение
детерминированного метода трапеций.
Далее будем предполагать, что повторные стохастические интегралы, входящие в численный метод (8.3), и рассматриваемые далее численные методы аппроксимированы одним из приведенных в главе 6 численных методов с точностью, необходимой для выполнения условий (7.22), (7.64) теорем 7.2 и 7.3 о сильной сходимости численных методов при соответствующих значениях r.
Численный эксперимент 8.3 (рис. 8.6, 8.7). Повторить численный эксперимент 8.1 для неявного метода Г.Н. Милъштейна (8.3) при и .
Рис. 8.8. Результат численного эксперимента 8.4 при .
Численный эксперимент 8.4 (рис. 8.8). Повторить численный эксперимент 8.2 для метода Г.Н. Милъштейна (8.3) при .