8.6 О полностью неявных сильных численных ме­тодах

Рассмотренные в предыдущем разделе численные методы содержат неявность как в систематических, так и в стохастических членах. В данном разделе рассмотрим численные методы [186], которые также обладают указанной особенностью, но основаны на другой идее.

Как уже отмечалось, проблема существования моментных харак­теристик неявных сильных численных методов с неявностью в сто­хастических членах связана главным образом с тем, что гауссовские случайные величины, входящие в указанные численные методы, явля­ются неограниченными случайными величинами. В [186] предлагается преодолеть данную проблему путем замены гауссовских случайных величин специальными ограниченными случайными величинами. По­лученные таким образом в [186] численные методы имеют невысокие порядки сильной сходимости (в общем случае 0.5, а в частных случаях 1.0), однако эти численные методы обладают хор отними свойствами устойчивости.

Рассмотрим скалярное стохастическое дифференциальное уравне­ние Ито вида

где — случайный процесс, являющийся решением данного уравнения; — стандартный скалярный винеровский процесс; — неслучайные функции; — начальное условие, которое стохастически не зависит от приращения при и удовлетворяет условию АIII теоремы 1.6.

Теорема 8.2 [186]. Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции непре­рывны при и существует такая постоянная L, что

при всех .

2. Существует такое , что если , то выполняется неравенство:

3. Случайные величины определены следующим образом:

где — независимые стандартные гауссовские случайные величины; ; ; .

Тогда численный метод

где ; ; , имеет порядок сильной сходимости равный 0.5.

В [186], в частности, отмечается, что если условия теоремы 8.2 до­полнить условием Липшица с постоянной L по переменной х для функ­ции

то численный метод вида

будет иметь порядок сильной сходимости равный 0.5.

Кратко коснемся многомерного случая.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Ито вида

где — случайный процесс, являющийся решением данного уравнения; — стандартный векторный винеровский процесс с независимыми компонентами — неслучайные функции, удовлетворяющие условиям AI, All (теорема 1.6); — начальное условие, которое сто­хастически не зависит от приращения при и удовлетворяет условию АIII теоремы 1.6.

Многомерный вариант численного метода (8.25) имеет вид [186]:

где

где — независимые стандартные гауссовские случайные величины при различных р или j; — j—й столбец матрицы .

В [186] отмечается, что при соответствующих условиях гладкости и ограниченности функций численный метод (8.26) имеет порядок сильной сходимости равный 0.5. Там же рассмотрены и дру­гие полностью неявные сильные численные методы порядка точности 0.5.

17.4 MATLAB 7.0 - Программы к главе 8

17.4.1 Программа для численного эксперимента 8.1 при

clear;

t0=0; tk=1;

a=1.5; b=1.5;

alpha=0.5;

for jj=3:7,

randn ('state', 0);

dt=1/(2^jj);

st=1.73;

t=t0:dt:tk;

l=max(size(t))-1;

he=0;

for i=1:20*100,

x(1)=1; y(1)=1;

sw=0;

for p=1:l,

u=randn;

sw=sw+u;

x(p+1)=x(1)*expm((a-0.5*(b^2))*p*dt+b*sqrt(dt)*sw);

y(p+1)=(1/(1-alpha*a*dt))*(1+(1-alpha)*a*dt+b*sqrt(dt)*u)*y(p);

end;

e(i)=abs(x(l+1)-y(l+1));

he=he+e(i);

end;

he=he/(20*100);

for j=1:20,

ee=0;

for k=(j-1)*100+1:j*100,

ee=ee+(k);

end;

hh(j)=ee/100;

end;

s=0;

for j=1:20,

s=s+(hh(j)-he)^2;

end;

s=s/19;

hee(jj-2)=he;

he1(jj-2)=he-st*sqrt(s/20);

he2(jj-2)=he+st*sqrt(s/20);

ttt(jj-2)=1/(2^jj);

end;

e1=[he1(1) he2(1)];

e2=[he1(2) he2(2)];

e3=[he1(3) he2(3)];

e4=[he1(4) he2(4)];

e5=[he1(5) he2(5)];

tt1=[1/(2^3) 1/(2^3)];

tt2=[1/(2^4) 1/(2^4)];

tt3=[1/(2^5) 1/(2^5)];

tt4=[1/(2^6) 1/(2^6)];

tt5=[1/(2^7) 1/(2^7)];

plot(tt1,e1,tt2,e2,tt3,e3,tt4,e4,tt5,e5,ttt,hee);

pause;

Рис. 17.1 Результат численного эксперимента 8.1 при .