8.3.4 Методы порядка точности 2.5

Для построения неявных сильных одношаговых конечно-разност­ных численных методов порядка точности 2.5 используем численные схемы (8.8) и (8.9) при , а также конечно-разностные аппрокси­мации, полученные в разд. 7.7.1. В результате с помощью (8.8) получим следующую неявную сильную одношаговую численную схему порядка точности 2.5:

где

Здесь сохранен смысл обозначений, входящих в правую часть (7.135).

Если в качестве основы взять численную схему (8.9) при , то получим следующую неявную сильную одношаговую численную схему порядка точности 2.5:

где

Здесь сохранен смысл обозначений, входящих в правую часть (7.136).

В заключение отметим, что полученные в разд. 8.3.3 и 8.3.4 неяв­ные сильные численные методы представляют интерес, поскольку в них используются конечно-разностные аппроксимации частных про­изводных, отличающиеся от соответствующих аналогов, полученных в [70, 86], унифицированные разложения Тейлора-Ито, а также предла­гается применять в построенных численных схемах метод аппрокси­мации повторных стохастических интегралов, основанный на кратных рядах Фурье.

8.4 О сходимости неявных сильных одношаговых методов

В настоящем разделе на примере численного метода (8.3) покажем,как может быть обоснована сходимость неявных одношаговых силь­ных численных методов.

Предполагается, что все частные производные, которые встреча­ются в данном разделе, существуют.

Перепишем численный метод (8.3):

где ; ; ; .

С помощью формулы Ито и разложения Тейлора-Ито имеем

где

— решение стохастического дифференциального уравнения (7.18).

Используя (8.19), (8.20), приходим к равенству

Далее имеем

где ;

определяется из (8.20) при замене на ; ; .

Если предположить теперь, что выполнены условия теоремы 7.3 при r = 2, то по аналогии с доказательством теорем 7.2, 7.3, используя (8.21), нетрудно получить следующую оценку:

где ; постоянные не зависят от ; .

С помощью (8.22) и неравенства Гронуолла имеем или , где постоянные не зависят от . Это означает, что численный метод (8.18) имеет порядок сильной сходимости 1.0.

Нетрудно видеть, что сходимость более точных неявных силь­ных численных методов может быть доказана по предложенной ранее схеме. Отметим также, что, используя приведенные в данном разделе рассуждения, можно показать, что неявный метод Эйлера (8.1) имеет порядок сильной сходимости 0.5, если выполнены условия теоремы 7.1.

8.5 Сбалансированные неявные сильные числен­ные методы

В начале данной главы (см. также [86. С. 336-337]) уже отмеча­лось, что введение неявности при построении численных методов нетолько в систематические, но и в стохастические члены правой ча­сти численной схемы приводит к тому, что для конструируемых чи­сленных методов, вообще говоря, перестают существовать моментные характеристики.

Приведенные ранее неявные сильные численные методы, в которых неявность входит только в систематические члены, ’’хорошо” ведут себя по отношению к жестким системам только с несущественной стохастической динамикой (малая интенсивность шума, аддитивный шум) [93]. В тех случаях, когда стохастическая динамика существенна (мультипликативный шум с большой интенсивностью), явные сильные численные методы, а также неявные сильные численные методы с не­явностью в систематических членах дают большую ошибку даже при достаточно малых шагах интегрирования [93]. Использование же ма­лых шагов интегрирования ведет к резкому увеличению машинного времени.

Для преодоления указанных вычислительных трудностей для жест­ких систем с существенной стохастической динамикой в [93] пред­ложено пользоваться семейством так называемых сбалансированных сильных численных методов. Несмотря на то, что неявность в этих численных методах входит в систематические и стохастические сла­гаемые в [93] проблему существования моментных характеристик для данных численных методов удалось преодолеть.

Приведем общий вид сбалансированных неявных сильных числен­ных методов [93]:

где

; ; ; ; – -измеримый при всех m-мерный стандартный винеровский процесс с независимыми компонентами ; .

В [93] доказана следующая теорема о сильной сходимости числен­ного метода (8.23), (8.24).

Теорема 8.1 [93]. Пусть выполнены следующие условия:

1. Компоненты матриц ограничены.

2. Для любой последовательности вещественных чисел такой, что и всех матрица имеет обратную, причем ; — единичная матрица.

3. Справедливы условия AI-AIII (теорема 1.6).

Тогда для всех и , где постоянная не зависит от ; — решение стохастического дифференциального уравнения Ито (7.18).

Таким образом, в условиях теоремы 8.1 сбалансированный неявный сильный численный метод (8.23), (8.24) имеет порядок сильной схо­димости 0.5. Отметим, что условие 2 теоремы 8.1 выполнено, если матрицы положительно определены [93].

В работах [93, 99] путем численных экспериментов для стохасти­ческих дифференциальных уравнений с мультипликативным шумом показано, что в ряде случаев сбалансированные неявные сильные чи­сленные методы более эффективны, чем другие численные методы, в частности, явные численные методы.