8.3.1 Методы порядка точности 1.0

Рассмотрим семейство (8.3) неявных методов Г.Н. Милынтейна и аппроксимируем конечными разностями частные производные, вхо­дящие в правую часть (8.3). В результате получим следующее одно­параметрическое семейство неявных сильных одношаговых конечно­разностных численных методов порядка точности 1.0:

где сохранен смысл обозначений, входящих в (7.90).

Численный эксперимент 8.10 (рис. 8.14). Повторить численный эксперимент 8.2 для неявного сильного конечно-разностного числен­ного метода порядка точности 1.0 вида (8.11) при .

Рис. 8.14. Результат численного эксперимента 8.10.

Численный эксперимент 8.11 (рис. 8.15). Повторить численный эксперимент 8.1 для неявного сильного конечно-разностного числен­ного метода порядка точности 1.0 вида (8.11) при .

Рис. 8.15. Результат численного эксперимента 8.11.

8.3.2 Методы порядка точности 1.5

Аппроксимируем конечными разностями частные производные, входящие в правые части (8.4), (8.5). Тогда из (8.4) и (8.5) следуют два семейства неявных сильных одношаговых конечно-разностных чи­сленных методов порядка точности 1.5:

Рис. 8.16. Результат численного эксперимента 8.12.

Рис. 8.17. Результат численного эксперимента 8.13.

В (8.13), (8.12) сохранен смысл обозначений, введенных в (7.96), (7.97).

Численный эксперимент 8.12 (рис. 8.16). Повторить числен­ный эксперимент 8.2 для неявного конечно-разностного сильного чи­сленного метода порядка точности 1.5 вида (8.12) при . Для моделирования стохастических интегралов Ито ; использовать формулу

Здесь и — независимые в совокупности стандартные гауссов­ские случайные величины.

Численный эксперимент 8.13 (рис. 8.17). Повторить числен­ный эксперимент 8.1 для неявного конечно-разностного сильного чи­сленного метода порядка точности 1.5 вида (8.12) при . Для моделирования стохастических интегралов Ито ; использовать формулу (8.14).

8.3.3 Методы порядка точности 2.0

Аппроксимируя конечными разностями частные производные, вхо­дящие в правую часть (8.7) и выбирая в (8.7), получаем

где сохранен смысл обозначений, входящих в правую часть (7.111). Аналог схемы (8.15), который основан на разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена, имеет вид

где введены такие же обозначения, как и в (7.112).

Численный эксперимент 8.14. (рис. 8.18). Повторить числен­ный эксперимент 8.1 для неявного конечно-разностного сильного чи­сленного метода порядка 2.0 вида (8.15). Для моделирования стоха­стических интегралов Ито ; использо­вать формулу (8.14), а для моделирования стохастических интегра­лов , ; – аппроксимацию

и соотношение при ; ; — независимые стандартные гауссовские случайные величины.

Рис. 8.18. Результат численного эксперимента 8.14.

В [86. С. 411] предложен неявный конечно-разностный сильный чис­ленный метод порядка точности 2.0 для случая скалярного аддитив­ного шума. Предложенный нами неявный конечно-разностный силь­ный численный метод порядка точности 2.0 вида (8.15) является более общим, поскольку в (8.15) шум предполагается векторным и неадди­тивным. Кроме того, ошибка численного метода (8.15) уменьшается при уменьшении шага интегрирования А в достаточно широком диа­пазоне его изменения (см. рис. 8.18).