1.2. Силы, действующие на жидкость

Внешние силы, действующие на данный объем или частичку жидкости, могут быть разделены на две группы.

Силы массовые. Эти силы действуют на все частички, составляющие рассматриваемый объем жидкости. Величина этих сил пропорциональна массе жидкости. В случае однородной жидкости, т.е. жидкости, имеющей в любой точке одинаковую плотность, величина массовых сил будет пропорциональна также объему жидкости. Поэтому при  = const массовые силы называют объемными силами.

К массовым (объемным) силам относятся силы тяжести, силы инерции и т.д. Плотность распределения объемных сил в различных точках пространства, занятого жидкостью, в общем случае может быть разной.

Силы поверхностные. Эти силы приложены к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости, выделенной внутри этой жидкости. Поверхностные силы можно разложить на две составляющие: нормальную (характеризуется нормальным напряжением) и касательную (характеризуется касательным напряжением).

В покоящейся жидкости имеются только нормальные напряжения, определяемые давлением в жидкости. В движущейся жидкости имеются и нормальные и касательные напряжения, определяемые давлением в жидкости и законом трения Ньютона.

1.3. Гидростатическое давление и его свойства

В гидростатике рассматривают жидкость, находящуюся в относительном покое. Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления. Рассмотрим произвольный объем покоящейся жидкости (рис. 1.4).

Рис. 1.4. К понятию гидростатического давления

Если этот объем рассечь произвольно выбранной плоскостью и мысленно отбросить одну часть, то для сохранения равновесия оставшейся части необходимо к площадке  приложить каким-то образом распределенные силы, эквивалентные действию отброшенной части на оставшуюся. Пусть сила P представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к различным точкам площадки , определяющих воздействие отброшенной части объема жидкости на площадку  оставшейся части этого объема. Тогда отношение (1.13) представит собой гидростатическое давление p на площадку:

. (1.13)

Гидростатическим давлением в данной точке называется предел отношения силы давления покоящейся жидкости P к площади ее действия  при величине площадки, стремящейся к нулю, т.е.

(1.14)

или . (1.15)

Гидростатическое давление в данной точке - величина конечного измерения. Гидростатическое давление обладает двумя основными свойствами.

Первое свойство. Гидростатическое давление действует нормально к площадке и является сжимающим, т.е. оно направлено внутрь того объема жидкости, давление на который рассматриваем.

Может ли гидростатическое давление быть направлено не по нормали? Если гидростатическое давление направлено не по нормали, то его можно разложить на нормальную и касательную составляющие. В соответствии с законом трения Ньютона касательные напряжения возникают при наличии градиента скорости, а мы рассматриваем покоящуюся жидкость (или другими словами, касательные напряжения должны привести к движению слоев жидкости, а мы рассматриваем покой).

Таким образом, давление в покоящейся жидкости может быть направлено только по нормали.

Особыми физическими опытами доказано, что покоящаяся жидкость в определенных условиях иногда способна сопротивляться равномерному всестороннему растяжению. В обычных условиях растяжение жидкости будет отличаться от равномерного всестороннего, поэтому в ней будут возникать касательные напряжения и жидкость будет течь под действием растягивающих усилий. Кроме того, в обычных условиях даже при небольших растягивающих усилиях при всестороннем растяжении возникает разрыв (образование прогазовой прослойки) в жидкости.

Имея это в виду, считают, что в обычной практической обстановке жидкость не сопротивляется касательным и растягивающим усилиям. Учитывая это, очевидно, следует сделать вывод, что давление в покоящейся жидкости всегда направлено по нормали к площадке действия внутрь рассматриваемого объема жидкости.

Второе свойство. Гидростатическое давление в любой точке жидкости не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, т.е. гидростатическое давление действует одинаково по всем направлениям.

Для доказательства второго свойства выделим внутри жидкости бесконечно малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям x, y, z (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Второе свойство гидростатического давления

На тетраэдр действуют поверхностные силы - силы гидростатического давления P_x, P_y, P_z, P_n, направленные по нормали к соответствующим площадкам _х, _y, _z, _n и в соответствии с первым свойством гидростатического давления внутрь рассматриваемого объема жидкости (сжимающие). Кроме поверхностных действуют и массовые силы. Равнодействующую массовых сил, отнесенную к единице массы (единичную массовую силу), обозначим G, а ее проекции на оси координат - G_x, G_y, G_z. Условие равновесия выделенного элемента жидкости – сумма проекций всех сил на координатные оси – равна нулю (или, другими словами, равнодействующая всех сил равна нулю). Проекции внешних сил на оси координат будут равны:

(1.16)

Ввиду того что мы рассматриваем бесконечно малые площадки, давление в пределах одной грани тетраэдра можно считать постоянным. Тогда сила давления будет равна давлению, умноженному на площадь грани, т.е.

dP_x = p_xd_x; dP_y = p_yd_y; dP_z = p_nd_z; dP_n = p_nd_n.

Рассмотрим проекцию силы dP_n на ось x:

dP_n cos(n^x) = p_nd_ncos(n^x) = p_xd_x . (1.17)

Так как ось x и ось n перпендикулярны к соответствующим площадкам d_x и d_n, то, следовательно, угол между площадками d_x и d_n будет равен углу между осями x и n (т.е. n^x).

Аналогично формуле (1.17)

;

.

Масса элемента определяется как произведение плотности жидкости на объем тетраэдра:

. (1.18)

С учетом того, что

; ; , (1.19)

запишем условия равновесия тетраэдра (1.16) в следующем виде:

(1.20)

Упростив уравнения, получим

(1.21)

Последние члены левых частей уравнений представляют собой произведения конечных величин (1/3G_x и т.д.) на бесконечно малые (dx и т.д.) и, значит, последние члены бесконечно малы и ими можно пренебречь.

Тогда получим p_x - p_n =0; p_y - p_n = 0; p_z - p_n = 0 (1.22)

или p_x = p_y = p_z = p_n . (1.23)

Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки произволен, и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Поскольку при выделении элементарного тетраэдра никаких ограничений относительно его положения в неподвижной жидкости не накладывалось, то из последнего соотношения (1.23) следует, что в покоящейся жидкости гидростатическое давление в любой точке не зависит от ориентации площадки, к которой приложено давление.

Так как давление не зависит от ориентации площадки, проходящей через данную точку, и определяется только положением точки в жидкости, то давление является функцией только координат:

p = f (x,y,z) . (1.24)