1.4. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения л. Эйлера)

Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, выделенного внутри покоящейся жидкости (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Элементарный объем жидкости

Предположим, что в точке А (центр тяжести параллелепипеда) действует гидростатическое давление p. Проведем через точку А горизонтальную линию MN, пересекающую грань 1-3-6-5 в точке М и грань 2-4-7-8 в точке N. С учетом непрерывности изменения давления в жидкости, т.е. функциональной зависимости, давление в точках М и N будет равно:

, (1.25)

где - изменение давления на расстоянии .

Сила гидростатического давления на грань 1-3-6-5 направлена по оси х (1-е свойство), т.е. положительна:

,

а сила гидростатического давления на грань 2-4-7-8 направлена в обратную сторону, т.е. отрицательна:

.

Проекция массовых сил на ось х будет равна произведению G_xdxdydz, где dxdydz=dm - масса параллелепипеда, G_x - проекция единичной массовой силы на ось х. С учетом 1-го свойства гидростатического давления уравнение равновесия параллелепипеда в проекции на ось х будет иметь вид

, (1.26)

откуда . (1.27)

Учитывая 2-е свойство гидростатического давления, точно так же можно получить уравнения для проекций равнодействующей поверхностных и массовых сил на оси y и z:

(1.28)

Уравнения (1.27), (1.28) могут быть переписаны так:

. (1.29)

Впервые эти уравнения были выведены членом Российской академии наук Л. Эйлером в 1755 г., и поэтому их называют уравнениями Эйлера.

Если систему уравнений (1.29) умножим на dx, dy, dz и сложим, то получим:

или . (1.30)

Так как гидростатическое давление является лишь функцией координат точек х, y, z (1.24), то левая часть уравнения (1.30) представляет собой полный дифференциал и может быть обозначена через dp, т.е.

dp =  (G_xdx + G_ydy + G_zdz). (1.31)

Система уравнений (1.29) или уравнение (1.31) позволяют описать закон распределения гидростатического давления в объеме жидкости.

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. Для такой поверхности справедливы условия:

p = const, dp = 0, тогда из формулы (1.31) следует:

G_xdx + G_ydy + G_zdz = 0. (1.32)

Это и есть уравнение плоскости равных давлений.

Отметим, что свободные поверхности жидкости (поверхности раздела газ – жидкость) являются поверхностями равного давления (уровня).

1.5. Равновесие несжимаемой жидкости в поле сил тяжести

Будем полагать, что из массовых сил действуют только силы тяжести. Тогда составляющие массовой силы в направлении осей х и y равны нулю, т.е.

G_x = 0, G_y = 0.

Тогда из уравнений (1.29) при p = const следует:

.

Это может быть только в том случае, когда давление в плоскости xy постоянно, т.е.

p (x,y) = const . (1.33)

Следовательно, поверхности равного давления - горизонтальные плоскости, проходящие через однородную жидкость.

Определим величину проекции единичной массовой силы на ось z:

. (1.34)

Знак минус в равенстве (1.34) обусловлен тем, что ось z направлена вертикально вверх, а сила тяжести вниз, т.е. в противоположную сторону. Учитывая, что p = f(z), а также равенство (1.34), уравнение можно записать так:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

dp = - gdz; (1.35)

p = gz + C,

где C - постоянная интегрирования.

Представим уравнение (1.35) в следующем виде:

. (1.36)

Таким образом, в объеме однородной жидкости сумма величин z и в любой точке одна и та же. Полученное соотношение (1.36) называется основным уравнением гидростатики.

Предположим, имеется объем однородной жидкости (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Определение давления в точке, погруженной

в жидкость на глубину h

Плоскость сравнения 0-0 служит началом отсчета координаты z. Эту плоскость можно выбирать на любом уровне, но для всех точек она должна быть одна и та же. В соответствии с основным уравнением гидростатики

.

Из основного уравнения гидростатики можно получить формулу для определения давления в точке жидкости, находящейся на глубине h от поверхности. Предположим над свободной поверхностью (см. рис. 1.7) давление p₀, тогда:

(1.37)

Таким образом, давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению (т.е. давление на поверхность), сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Из уравнения (1.37) следует, что при увеличении давления p₀ на величину p для сохранения равенства левая часть уравнения, т.е. гидростатическое давление p в данной точке, также должна увеличиваться на p. Это справедливо для любой точки жидкости.

Закон Паскаля. Изменение давления в какой-либо точке покоящейся жидкости, не нарушающее ее равновесия, передается в остальные точки без изменения. На использовании этого закона основана работа ряда гидравлических машин, наиболее распространенной из которых является гидравлический пресс.