1.7. Физический смысл основного уравнения гидростатики

Представим себе, что в точке А (см. рис. 1.11) сосредоточена некоторая масса жидкости. Определим ее потенциальную энергию относительно плоскости сравнения 0-0. В момент присоединения пьезометра к точке А рассматриваемая масса жидкости без дополнительной затраты энергии поднимается по пьезометру на высоту и энергия этой массы будет определяться уже не только высотой положения точки z, но и пьезометрической высотой . Таким образом, потенциальная энергия массы m в точке А составляет:

. (1.41)

Энергия, отнесенная к единице веса жидкости, называемая удельной потенциальной энергией, равна

. (1.42)

Следовательно, удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости определяется гидростатическим напором, и поэтому во всех ее точках удельная потенциальная энергия относительно выбранной плоскости сравнения одинакова (1.40), т.е.

. (1.43)

Удельная потенциальная энергия складывается из удельной энергии положения относительно плоскости сравнения 0-0 (геометрическая высота) и из удельной энергии давления (пьезометрическая высота).

Необходимо подчеркнуть различие между пьезометрической высотой (давлением) и гидростатическим напором в отдельных точках покоящейся жидкости: пьезометрическая высота (давление) зависит от координат точки и является переменной величиной для всей массы жидкости, а гидростатический напор относительно плоскости сравнения является величиной постоянной и не зависит от координат рассматриваемых точек.

1.8. Определение силы и центра давления жидкости на плоские фигуры

Задача определения результирующей силы гидростатического давления на плоскую фигуру сводится к нахождению величины этой силы и точки ее приложения или центра давления. Представим резервуар, наполненный жидкостью и имеющий наклонную плоскую стенку (рис. 1.12).

На стенке резервуара наметим некоторую плоскую фигуру любого очертания площадью . Координатные оси выберем так, как указано на чертеже. Ось z перпендикулярна к плоскости чертежа. В плоскости уz расположена рассматриваемая фигура, которая проектируется в виде прямой, обозначенной жирной линией, справа показана эта фигура в совмещении с плоскостью уz.

В соответствии с 1-м свойством гидростатического давления можно утверждать, что во всех точках площади  давление жидкости направлено нормально к стенке. Отсюда заключаем, что сила гидростатического давления, действующая на произвольную плоскую фигуру, также направлена нормально к ее поверхности.

Рис. 1.12. Давление жидкости на плоскую стенку

Для определения силы давления выделим элементарную (бесконечно малую) площадку d. Силу давления dP на элементарную площадку определим так:

dP = pd = (p₀ + gh)d,

где h - глубина погружения площадки d.

Так как h = ysin, то dP =pd = (p₀ + gysin)d.

Сила давления на всю площадку :

. (1.44)

Первый интеграл представляет собой площадь фигуры :

.

Второй интеграл представляет собой статический момент площадки  относительно оси х. Как известно, статический момент фигуры относительно оси х равен произведению площади фигуры  на расстояние от оси х до центра тяжести фигуры, т.е.

.

Подставляя в уравнение (1.44) значения интегралов, получаем

P = p_o + gsiny_ц.т.

Но так как y_ц.т sin = h _ц.т - глубина погружения центра тяжести фигуры, то:

P = (p₀ + gh_ц.т). (1.45)

Выражение, заключенное в скобки, представляет собой давление в центре тяжести фигуры:

p₀ + gh_ц.т = p_ц.т .

Следовательно, уравнение (1.45) можно записать в виде

P = p_ц.т . (1.46)

Таким образом, сила гидростатического давления на плоскую фигуру равна гидростатическому давлению в центре тяжести ее, умноженному на величину площади этой фигуры. Определим центр давления, т.е. точку приложения силы давления Р. Так как поверхностное давление , передаваясь через жидкость, равномерно распределяется по рассматриваемой площади, то точка приложения силы  будет совпадать с центром тяжести фигуры. Если над свободной поверхностью жидкости давление атмосферное (p₀ = p_атм), то его учитывать не надо.

Давление, обусловленное весом жидкости, неравномерно распределяется по площади фигуры: чем глубже расположена точка фигуры, тем большее давление она испытывает. Поэтому точка приложения силы P = gh_ц.т будет лежать ниже центра тяжести фигуры. Координату этой точки обозначим y_ц.д. Для ее нахождения воспользуемся известным положением теоретической механики: сумма моментов составляющих элементарных сил относительно оси х равна моменту равнодействующей силы Р относительно той же оси х, т.e.

,

так как dP = ghd = gysind, то

. (1.47)

Здесь значение интеграла представляет собой момент инерции фигуры относительно оси х:

,

а сила .

Подставляя эти соотношения в уравнение (1.47), получаем

y_ц.д = J_x / y_ц.т. (1.48)

Формулу (1.48) можно преобразовать, воспользовавшись тем, что момент инерции J_x относительно произвольной оси х равен

J_x = J₀ + y²_ц.т, (1.49)

где J₀ - момент инерции площади фигуры относительно оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси х; y_ц.т - координата центра тяжести фигуры (т.е. расстояние между осями).

С учетом формулы (1.49) получим: . (1.50)

Уравнение (1.50) показывает, что центр давления, обусловленный весовым давлением жидкости, всегда расположен ниже центра тяжести рассматриваемой фигуры на величину и погружен на глубину

, (1.51)

где h_ц.д = y_ц.д sin - глубина погружения центра давления.

Мы ограничились определением только одной координаты центра давления. Этого достаточно, если фигура обладает симметрией относительно оси у, проходящей через центр тяжести. В общем случае надо определять и вторую координату. Методика ее определения такая же, как и в рассмотренном выше случае.