Лабораторна робота №2 інтегрування функцій
Мета роботи: отримання практичних навичок інтегрування функцій, їх програмної реалізації в середовищі Matlab.
Короткі теоретичні відомості
Інтегральне числення спочатку виникло з потреби знаходження площ, об'ємів і центрів тяжіння геометричних фігур. Наприклад, якщо у нас є формула кола, то за допомогою інтеграла ми можемо порахувати його площу, якщо у нас є формула кулі, то ми можемо порахувати її об'єм. На сьогодні інтегрування відіграє важливу роль в сучасній математиці і фізиці, за допомогою інтегрування знаходять енергію, роботу, тиск, масу, електричний заряд і багато інших величини.
Більшість математичних моделей, що застосовуються під час опису технічних об'єктів, зводяться до систем звичайних диференціальних рівнянь при відповідних початкових або крайових умовах, а під час розв'язання цих задач виникає необхідність використання чисельного інтегрування рівнянь. Наприклад, коли відомо розподіл домішки (концентрації) за глибиною напівпровідника, а для розрахунку електричного потенціалу структури потрібна загальна доза цієї домішки, то необхідно взяти інтеграл від концентрації за глибиною; коли відомий розподіл щільності струму, а необхідно знати весь (загальний) струм, то необхідно розрахувати інтеграл від щільності за площею; коли відомо розподіл освітленості за площею ПЗС-приймача, а вимірюється загальний фотострум, то він пропорційний інтегралу від освітленості, а якщо ця освітленість ще й з часом змінюється, то також треба рахувати інтеграл за часом накопичення.
В
середовищі Matlab
для чисельного обчислення інтегралів
використовуються функції quad,
quad8
та quadl.
Квадратура – це чисельний метод
обчислення площі під графіком функції,
тобто обчислення певного інтеграла
виду
Функції
quad,
quad8
та quadl
використовують різні квадратурні
формули, рекурсивний тип визову функції
й не дають можливість інтегрувати
функції з особливостями типу
Робоче завдання
Скласти робочу програму із використанням універсальних функцій Matlab для чисельного інтегрування.
Провести обчислення інтегралів функцій, заданих в табл. 2.1, з підрахунком числа елементарних відрізків і потрібного числа звернень до підінтегральної функції, необхідних для досягнення заданої похибки.
За допомогою інтеграла суперпозиції:
,
визначити реакцію системи, показану на
рис. 2.1, на сигнал:
,
;
,
;
наведений
на рис. 2.2,
,
і побудувати відповідні графіки на
відрізку
в одній системі координат з V(t).
Тут: h(t) –
перехідна характеристика схеми. Її слід
визначити аналітично по методиці,
викладеній в курсі теорії електричних
кіл; V(t) –
вхідна дія.
Всі опори дані в Омах, струми – в Амперах, ємності – в Фарадах, індуктивності – в Генрі, кругові частоти – в рад/с, фази – в радіанах, час – в секундах.
Зміст звіту
Назва роботи.
Мета.
Робоче завдання.
Схема, яка досліджується, її перехідна характеристика та формули підінтегральних функцій.
Текст робочої програми.
Графіки отриманих залежностей (вхідний і вихідний сигнал в одній системі координат).
Висновки.
Таблиця 2.1.
Варіанти завдань
Номер бригади |
Підінтеграль- на функція |
Межі інтегрування |
Відносна похибка |
№ схеми/ № сигналу |
А |
, |
t0, |
|
a |
B |
|||||||
1 |
|
0 |
3 |
10-6 |
1/1 |
1 |
2 /6 |
4 1 |
2 |
|
-/2 |
/2 |
10-6 |
1/2 |
1 |
2 /4 |
5 1 |
3 |
|
0 |
|
10-6 |
1/3 |
1 |
2 /3 |
6 1 |
4 |
|
0 |
|
10-6 |
1/4 |
1 |
2 /2 |
7 1 |
5 |
|
0 |
1 |
10-6 |
2/1 |
2 |
2 -/6 |
7 2 |
6 |
|
0 |
5 |
10-6 |
2/2 |
2 |
2 -/4 |
8 1 |
7 |
|
0 |
|
10-5 |
2/3 |
2 |
2 -/3 |
8 2 |
8 |
|
0 |
2 |
10-5 |
2/4 |
2 |
2 -/2 |
9 1 |
9 |
|
0 |
1 |
10-6 |
3/1 |
3 |
3 /6 |
9 2 |
10 |
|
0 |
1 |
10-6 |
3/2 |
3 |
3 /4 |
9 3 |
11 |
|
0 |
6 |
10-6 |
3/3 |
3 |
3 /3 |
10 1 |
12 |
|
0 |
4 |
10-6 |
3/4 |
3 |
3 /2 |
10 2 |
13 |
|
0 |
1.1 |
10-6 |
4/1 |
4 |
3 -/6 |
2 1 |
14 |
|
0 |
|
10-6 |
4/2 |
4 |
3 -/4 |
10 3 |
15 |
|
0 |
6 |
10-6 |
4/3 |
4 |
3 -/3 |
11 2 |
16 |
|
0 |
6 |
10-6 |
4/4 |
4 |
3 -/2 |
11 2 |
Р
ис.
2.1. Електричні схеми.
Рис. 2.2. Види вхідних сигналів.