Лабораторна робота №3 розв’язання звичайних диференціальних рівнянь

Мета роботи: отримання практичних навичок використання алгоритмів чисельного рішення звичайних диференціальних рівнянь, програмної реалізації алгоритмів в середовищі Matlab.

Короткі теоретичні відомості

Звичайні диференціальні рівняння (ЗДР) використовуються для опису багатьох процесів реальної дійсності. Важко уявити собі галузь науки або виробництва, в якій не виникла необхідність використання диференціальних рівнянь. Зокрема, до них належать різного роду фізичні і хімічні процеси, процеси нафто- і газовидобутку, геології, економіки, електроніки і т.д. Дійсно, якщо деяка фізична величина (переміщення тіла, тиск рідини у фіксованій точці, концентрація речовини, рухливість носіїв заряду в напівпровіднику, обсяг продажів і т.д.) змінюється з часів під впливом тих чи інших факторів, то, як правило, закон її зміни у часі описується саме диференціальним рівнянням. Тобто рівнянням, яке пов'язує вихідну змінну як функцію часу і похідні цієї функції. Незалежною змінною в диференціальних рівняннях може виступати не тільки час, але й інші фізичні величини: координата, концентрація, рухливість, об’єм і т.д. Розв’язок рівняння з аналізом його залежності від параметрів задачі і початкового стану системи дозволяє встановити загальні закономірності зміни фізичної величини.

В середовищі Matlab для чисельного розв’язання задачі Коші найчастіше використовуються функції ode23, ode45 та ode15s. Їх можна застосовувати як для розв’язання простих диференціальних рівнянь, так і для моделювання складних динамічних систем. Будь-яка система нелінійних ЗДР може бути представлена як система диференціальних рівнянь 1-го порядку в явній формі Коші: , де x – вектор стану; t – час; f – нелінійна вектор-функція від змінних x, t. Функції ode23 та ode45 реалізують методи Рунге-Кутта з автоматичним вибором кроку. Такі алгоритми використовують тим більшу кількість кроків, чим повільніше змінюється функція. Оскільки функція ode45 використовує формули більш високого порядку, зазвичай потрібно менше кроків інтегрування і результат досягається швидше.

Робоче завдання

1. У відповідності до варіанта для схемотехнічних задач отримати нелінійне рівняння (див. табл. 3.1) та систему нелінійних рівнянь (див. табл. 3.2), що пов’язують шукані струми і напруги із параметрами компонентів схеми.

2. Для нелінійного рівняння побудувати графік функції, для якої шукається корень в околі кореня. Розв’язати нелінійне рівняння за допомогою функції fzero. Навести результати.

3. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою функції fsolve. Навести результати.

Зміст звіту:

1. Назва роботи.

2. Мета.

3. Електричні схеми, які відповідають варіанту, і отримані нелінійне рівняння та систему нелінійних рівнянь відносно невідомих напруг чи струмів.

4. Робоче завдання.

5. Лістинг робочої програми.

6. Результати розрахунків.

7. Висновки.

Таблиця 3.1.

Варіанти завдань для нелінійного рівняння

Номер бригади	Номер задачі	Номер варіанту задачі
	1	1
	2	1
	3	1
	4	1
	5	1
	6	1
	7	-
	1	2
	2	2
	3	2
	4	2
	5	2
	6	2
	1	3
	4	3
	5	3