Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кемеровский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7.Задания 4, площади пл.фигур.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

906 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

II. Векторы и координаты Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

1. Вектор в прямоугольной системе координат называется радиус - вектором точки А. Координаты точки А равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

2. Вектор в прямоугольной системе координат равен разности векторов и

3. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, т.е. где А(x₁;y₁ ) – начало, В(x₂;y₂) – конец вектора

Координаты суммы, разности двух векторов и произведения вектора на число

Правила, позволяющие по координатам векторов находить

координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3.Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Вычисление длины вектора

1. Формула длины вектора по его координатам .

2. Формула длины вектора по координатам конца В(х₂;у₂) и начала А(х₁;у₁) этого вектора:

Скалярное произведение в координатах

Теорема. Скалярное произведение векторов и выражается формулой

Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Следствие 2. Косинус угла α между ненулевыми векторами и выражается формулой или

Пример 24.

Задание 4. Найдите длину вектора .

Решение:

Используя формулу длины вектора по его координатам

получим

В бланк ответов:

Пример 25.

Задание 4. Найдите сумму координат вектора

Решение:

_{6
В}

4 А

0 2 8 х

1) На рисунке А(2;4), В(8;6), тогда , так как каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

2) Следовательно, сумма координат вектора равна: 6+2=8.

В бланк ответов:

Пример 26.

Задание 4. Найдите квадрат длины вектора

Решение:

_{6
В}

4 А

0 2 8 х

2) Используя формулу длины вектора, имеем:

3) Следовательно, квадрат длины вектора равен:

В бланк ответов:

Пример 27.

Задание 4. Вектор с началом в точке А(3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки В.

Решение:

_у

6 А

0 3 х

1) Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, значит, координаты вектора , где В(х;у).

2) По условию тогда х – 3 = 9, у – 6 =3.

х = 12, у = 9,

т.е. В(12;9),

3) Следовательно, сумма координат точки В равна: 12+9=21.

В бланк ответов:

Пример 28.

Задание 4. Найдите сумму координат вектора

Решение:

₆

0 2 8 х

1) На рисунке радиус-векторы и .

2) Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов, т.е. вектор имеет координаты: (2+8;6+4), (10;10).

3) Следовательно, сумма координат вектора равна: 10+10=20.

В бланк ответов:

Пример 29.

Задание 4. Найдите квадрат длины вектора

Решение:

₆

0 2 8 х

1) На рисунке радиус-векторы и .

2) Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т.е. вектор имеет координаты: (2–8;6–4), (-6;2).

3) Длина вектора по его координатам:

4) Следовательно, квадрат длины вектора равен:

В бланк ответов:

Пример 30.

Задание 4. Найдите скалярное произведение векторов и

Решение:

₆

0 2 8 х

1) На рисунке радиус-векторы и .

2) Используя формулу скалярного произведения векторов, имеем:

В бланк ответов:

Пример 31.

Задание 4. Найдите угол между векторами и Ответ дайте в градусах.

Решение:

₆

0 2 8 х

1) На рисунке радиус-векторы и .

2) Используя формулу скалярного произведения векторов, получим:

3) По формуле длины вектора по его координатам имеем:

4) Тогда косинус угла между векторами и равен:

5) Отсюда искомый угол α = 45^о.

В бланк ответов:

Пример 32.

Задание 4. Найдите сумму координат вектора

1 0 Решение:

₆

0 2 4 10 х

1) На рисунке (2;4) и (4;10) – координаты начала и конца вектора , (2;2) и (10;6) – координаты начала и конца вектора

2) Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, значит, координаты векторов и , и .

3) Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т.е. вектор имеет координаты: (2-8;6-4), (-6;2).

4) Следовательно, сумма координат вектора равна:

–6+2 = –4.

В бланк ответов:

3. Координатная плоскость

Простейшие задачи в координатах

1. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

2. Расстояние между точками А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) выражается формулой

Осевая и центральная симметрии

1. Две точки A и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка AА₁ и перпендикулярна к нему.

2. Две точки A и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка AА₁.

_{Теоремы о средней линии треугольника
и трапеции}

_1._{Средняя линия треугольника}_{параллельна одной из сторон и равна
половине этой стороны.}

_2._{Средняя линия трапеции}_{параллельна основаниям и равна их
полусумме.}

Пример 33.

Задание 4. Найдите ординату точки, симметричной точке А(6;8) относительно начала координат.

Решение:

А(6;8)

О х

Точки A и А₁, симметричные относи-тельно точки О, имеют противополож-ные координаты (рисунок справа). Значит, ордината точки, симметричной точке А(6;8) относительно начала координат, равна –8.

А(6;8)

А₁(-6;- 8)

В бланк ответов:

Пример 34.

Задание 4. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки А(6;8) и В(-2;2).

Решение:

А(6;8)

В (-2;2)

О х

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, значит, искомая абсцисса равна х =

А(6;8)

С(х;у)

В (-2;2)

О х

В бланк ответов:

Пример 35.

Задание 4. Точки О(0;0), А(10;8), С(2;6) и В являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки В. Решение:

А(10;8)

С(2;6)

О х

1) Р – середина отрезка ОА, тогда ордината точки Р равна = 4, так как каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.