7.1.3. Методические погрешности измерения функционалов и параметров.

Основным источником методической погрешности является отличие реального алгоритма, используемого для обработки первичной информации, от "идеального". Наиболее часто это отличие обусловлено упрощением алгоритма, но иногда создается и более существенное отличие, если алгоритм строится в предположении, что исследуемый объект удовлетворяет некоторой функциональной модели. Для иллюстрации этого подходит пример (данный в параграфе 7.1.1.) замены измерения амплитуды прямоугольного сигнала измерением максимального значения сигнала. Другой пример - измерение диаметров больших деталей путем обкатывания роликом точно известного диаметра. В этом случае фактически измеряется периметр детали, являющийся функционалом, а его пересчет в диаметр производится в предположении, что форма сечения - окружность.

Общий подход к оценке методической погрешности уже был охарактеризован при описании процедуры метрологической аттестации ПМО (в п. 6.2.).

Один и тот же массив данных обрабатывается в соответствии с реальным и идеальным алгоритмами. Полученные результаты анализируются. Обрабатываться могут неискаженные массивы, формируемые моделью исследуемого объекта и данные, прошедшие через модель измерительного канала.

Рассматриваемая математическая модель погрешностей измерения позволяет также исследовать полную погрешность ИИС. Для этого необходимо сравнить результаты обработки неискаженных данных в соответствии с идеальным алгоритмом и результаты обработки этих данных, прошедших через модель измерительного канала, в соответствии с реальным алгоритмом.

7.2. Интегральная оценка погрешностей измерения параметров. Критерий отличия.

Наряду с оценкой погрешности измерения каждого параметра, целесообразно иметь интегральную оценку погрешности измерения всей совокупности параметров как единого целого. Например, интегральные оценки качества вводятся в квалиметрии, когда различные частные количественные показатели, имеющие различный физический смысл, сводятся к единому числу. Вид интегральной оценки погрешности определяется алгоритмом оценки параметров.

Общий подход к построению алгоритма оценки параметров можно определить следующим образом: результаты измерения параметров а_kизм должны быть выбраны таким образом, чтобы функция

f (x₁,...,xn, t, а1изм,...,аm изм)

наименьшим образом отличалась от совокупности первичных данных Iо. Для получения конкретных аналитических выражений необходимо количественное определение степени отличия сравниваемых объектов f (x₁,...,xn, t, а1изм,...,аm изм) и Iо. Количественная оценка отличия, которую будем называть критерием отличия, представляет собой функционал общего вида F{f,Io}, который должен удовлетворять двум условиям:

1. Критерий отличия не может быть отрицательным.

2. Критерий отличия обращается в ноль, если результаты эксперимента точно совпадают с функциональной моделью при некоторых значениях параметров.

Для статических исследуемых объектов в основу критерия отличия могут быть положены: расстояния ( ) каждой точки из массива

(x_1j , … , xnj) до ближайшей точки, удовлетворяющей условию

f (x₁,...,xn, t, а1,...,аm) = 0

На рисунке изображен пример, когда функциональной моделью f(x,y)=0 является эллипс с конкретными значениями параметров, а первичными данными - координаты. Расстояния представляют собой длины соответствующих отрезков. Наиболее часто применяются следующие критерии отличия:

1. Критерий равномерного приближения, в качестве которого используется максимальное из расстояний

(2)

2. Квадратичный критерий, который представляет собой сумму квадратов

. (2)

3. Модульный критерий, представляющий собой сумму

(3)

В силу дискретности первичной информации критерии отличия определяются как соответствующие суммы, а не интегралы. Иногда в формулы (2) и (3) вводятся неотрицательные весовые функции, отражающие субъективные отношение пользователя к значимости отклонений для разных аргументов.

Приведенные критерии отличия имеют следующие особенности:

1) Критерий равномерного приближения очень чувствителен к локальным отклонениям экспериментальных данных, поскольку его величина определяется только максимальным значением отклонения. Квадратичные и модульные критерии в результате сглаживания менее чувствительные к ним.

2) Квадратичные критерии приводят к наиболее простым алгоритмам обработки. Благодаря этому квадратичный критерий вытеснял все остальные пока вычислительная техника не была достаточно мощной.

Мы рассмотрели 3 наиболее часто встречающихся критерия, однако критерием может служить любая неотрицательная величина, обращающаяся в ноль при совпадении экспериментальных данных с математической моделью.

Выбор критерия строго математически обосновать невозможно, поэтому вопрос, какой критерий лучше, смысла не имеет. Для каждой конкретной задачи выбор критерия, как и математической модели, производится заказчиком с учетом физических свойств исследуемого объекта, условий его функционирования, взаимосвязи с другими объектами и др.

Для определения результатов измерения параметров используют условие.

F{f(x₁,…,x_n,a₁,…,a_m);I_o}=min (a₁,…,a_m). (4)

Результатами измерения будут значения параметров а1изм,...,аm изм, обеспечивающие выполнение этого условия. Минимальное значение критерия отличия будет определяться выражением

F_min=F{f(x_i ,...,х_n, а_1изм,...,а_{m изм});I_о}. (5)

В рамках измерительной задачи минимальное значение критерия отличия не представляет существенного интереса для потребителя, хотя может использоваться при измерении для выявления сбоев (грубых погрешностей). Главным образом оно используется при интегральной оценке погрешностей результатов измерения параметров, идентификации моделей, распознавании образов. Условие (4) определяет алгоритм обработки первичной информации, то есть последовательность действий, которым нужно подвергнуть исходные данные (I0) для получения результатов измерения параметров. Определение параметров в соответствии с этим условием можно трактовать как аппроксимацию экспериментальных данных с помощью функции, определяющей вид функциональной модели. Поэтому ИИС, предназначенные для измерения параметров функциональных моделей иногда называют аппроксимирующими системами.

Подведём итог. Значения параметров, обеспечивающие минимум критерия отличия трактуются как результаты измерения. Величина минимума критерия отличия может быть различной. Если обрабатываемые отсчеты точно соответствуют модели исследуемого объекта и отсутствуют погрешности измерительного канала, то минимальные значения критерия отличия будет равно Fmin = 0. Во всех остальных случаях Fmin будет больше нуля. Это обстоятельство позволяет трактовать Fmin как оценку качества аппроксимации экспериментальных данных с помощью используемой аппроксимирующей функции.

Причин отличия минимального критерия отличия от нуля две.

1. Погрешности измерительных каналов

2. Неадекватность математической модели, то есть несоответствие исследуемого объекта используемой для его описания функциональной модели.

Т.к. нами рассматривался идеальный алгоритм, в число этих причин не вошла методическая погрешность.