3.2. Опрацювання результатів багаторазових вимірювань та визначення числових характеристик розподілу ймовірностей цих результатів як випадкових величин

1. Для виявлення в результатах вимірювання фізичних величин грубих похибок (промахів) їх необхідно розташувати в порядку зростання або спадання, тобто утворити варіаційний ряд:

x₁  x₂  x₃ … x_n-1  x_n.

Далі для крайніх членів цього ряду (x₁ і x_n) потрібно обчислити параметри відповідно r₁ і r_n:

;

де – середнє арифметичне, а S – незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення результатів вимірювання, визначені відповідно за формулами:

і .

Отримані значення r₁ і r_n необхідно порівняти з допустимим значенням r, знайденим з таблиці 1 для заданих числа f=n-1 ступеня вільності та довірчої ймовірності P_д.

Якщо ці значення не перевищують допустимого, то в заданому ряді вимірювань грубих похибок нема і студент приступає до виконання наступного пункту завдання 2. Якщо ж один або обидва параметри (r₁ і r_n) перевищують допустиме значення r, то x₁ або (і) x_n відповідно необхідно вилучити з ряду результатів вимірювань і повторити від початку аналогічний аналіз для решти членів ряду, поки не виконається попередня умова.

Таблиця 1

Значення при різних довірчих ймовірностях Рд для усунення

з результатів спостережень грубих похибок (промахів)

Рд, %
Число ступенів вільності f=n-1	90	95	97.5	99.9
5	1,974	2,093	2,182	2,265
6	2,041	2,172	2,273	2,374
7	2,097	2,237	2,349	2,464
8	2,146	2,294	2,414	2,540
9	2,190	2,343	2,470	2,606
10	2,229	2,387	2,519	2,663

2. Числові характеристики розподілу ймовірностей результатів вимірювання обчислюють для виправленого ряду результатів вимірювань, тобто ряду, з якого усунені грубі похибки.

Оцінкою математичного сподівання m_x є середнє арифметичне цього ряду , яке надалі вважають результатом вимірювання .

Оцінкою медіани при непарному числі n результатів вимірювань є середній член варіаційного ряду з порядковим номером , тобто:

;

а при парному числі n результатів вимірювань – середнє арифметичне між членами цього ряду з порядковими номерами та :

.

Оцінкою моди є результат вимірювання, який найчастіше зустрічається в даному ряді. У деяких випадках доцільно групувати дані за інтервалами частот однакової довжини. При цьому мода береться як центральна точка частотного інтервалу, який вміщає в собі найбільше число вимірювань.

Оцінка дисперсії або обчислюється наступним чином:

m₂ є одночасно оцінкою центрального моменту розподілу другого порядку.

Відповідно оцінки центральних моментів розподілу третього m₃ і четвертого m₄ порядків вираховуються за формулами:

; .

Оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань визначається за формулою:

.

Оцінка S₁ середнього квадратичного відхилення результатів спостережень визначається як , де коефіцієнт в залежності від числа ступенів вільності f=n-1 вибирається з таблиці 2.

Таблиця 2