Vі розділ

1.Перевірити істотність розбіжностей між внутрішніми груповими дисперсіями

Таблиця 6.1.

Внутрішньогрупова варіація родючості грунтів у господарствах району

Групи господарств за родючістю грунтів, балів	Кількість господарств	Родючість грунтів в окремих господарствах							Загальна сума внутрішньогрупової варіації		Дисперсія		Скориговані дисперсії
		1	2	3	4	5	6
51-55	13	53	53	55	51	-	-	8		2,0		2,67
56-60	5	56	56	57	59	57	-	6		1,2		1,50
61-65	6	65	64	62	64	65	64	8		1,0		1,20
66-70	3	70	66	66	--	--	-	11		3,7		5,55

Сформулюємо гіпотези: нульову – дисперсії суміжних груп не мають суттєвих розбіжностей; альтернативу - дисперсії суміжних груп суттєво відрізняються:

Встановимо рівень значущості , гарантуючи прийняття гіпотези або відхилення її з імовірністю помилитися тільки у 5 випадках із 100.

Найбільш потужним критерієм для перевірки аналогічних гіпотез у разі малих вибірок є критерій F- Фішера. Фактичне його значення:

Визначимо кількість степенів вільності варіації для кожної дисперсії:

Обчислимо табличне значення критерію (критичну галузь залежно від рівня значущості і відповідних степенів вільності варіації).

Формулюємо правило прийняття рішення за результатами перевірки нульової гіпотези порівнянням фактичного значення критерію з його табличним значенням:

якщо  , висунуту нульову гіпотезу відхиляємо;

якщо , допустимих значень і нульова гіпотеза має бути прийнята.

Порівняємо фактичне і табличне значення критерію і дійдемо висновку про прийняття або відхилення нульової гіпотези:

- нульова гіпотеза приймається;

- нульова гіпотеза приймається;

- нульова гіпотеза приймається.

Отже, розбіжності між дисперсіями несуттєві. Цей висновок гарантується із імовірністю помилитися в 5 випадках із 100.

2. Оцінити вірогідність різниці двох середніх

Для вивчення впливу біоміцину на середньодобові прирости живої масо курчат с формовано контрольну і дослідну групи по 10 голів у кожній. Порівняння середньодобового приросту курчат в обох групах свідчить про те, що більш високий добовий приріст дали курчата дослідної групи. Але у зв’язку з тим, що чисельність вибірок невелика (n=10), не виключена можливість, що розбіжності між середньодобовим приростом є наслідком дії випадкових причин. Потрібно статистично оцінити різницю середніх в обох групах курчат.

Таблиця 6.2.

Середньодобовий приріст живої маси курчат контрольної і дослідної групи, г

Номер спостереження	Контрольна група			Дослідна група
1	29	1033	24		576
2	17	289	23		529
3	18	324	22		484
4	19	361	23		529
5	22	484	24		576
6	19	361	25		625
7	21	441	26		676
8	16	256	21		441
9	18	324	20		400
10	22	484	25		625
Разом	201	4357	233		5461

Сформулюємо нульову гіпотезу про те, що добавка до корму дослідної групи курчат біоміцину не впливала на середньодобовий приріст живої маси, тобто абсолютну різницю між середнім добовим приростом знаходять в межах випадкових коливань:

; .

Приймемо рівень значущості 0,05, гарантуючи прийняття гіпотези або відмову від неї з імовірністю помилитися лише в 5 випадках із 100.

Спочатку обчислимо середньодобовий прирість живої маси курчат у контрольній і дослідній групах:

Отже, різниця між середніми двох вибірок, вірогідність якої потрібно довести або відкинути,

Для визначення середніх помилок у кожній вибірці обчислимо скориговані на втрату степенів вільності дисперсії:

Для кожної вибірки визначимо квадрат середніх помилок:

Визначимо середню помилку різниці двох середніх:

Знаючи різницю середніх і середню помилку двох середніх. Обчислимо фактичне значення t – критерію:

Кількість степенів вільності варіації становить:

За рівня значущості 0,05 і 18 степенів вільності варіації теоретичне значення -критерію становить 2,1009.

Оскільки фактичне значення – 4,513 більше за табличне =2,1009, то результати досліду не узгоджуються з гіпотезою про те, що різниця середніх випадкова. Тому можна дійти висновку, що різниця в середньодобових приростах живої маси курчат у дослідній і контрольній групах пов’язана з впливом досліджуваного фактора, тобто добавкою біоміцину.

Дійти висновку можна й іншим шляхом. Для цього обчислюють граничну помилку двох вибіркових середніх:

Гранична помилка показує, якщо б умови годівлі курчат дослідної і контрольної груп істотно не відрізнялися. То максимально можлива різниця між середніми, як наслідок дії випадкових факторів дорівнювала б 1,49 г. фактична різниця дорівнює 2,9 г., що перевищує граничну помилку за рівня значущості 0,05. Це дає змогу дійти висновку, що різниця в середньодобових приростах курчат зумовлена добавкою біоміцину.

3. Оцінити вірогідність середньої різниці

Оцінимо на прикладі досліду. В якому вивчалась урожайність двох сортів озимої пшениці Донецької 46 і Харківської 11.

Таблиця 6.3.

Урожайність озимої пшениці ц/га.

Повторність	Донецька 46	Харківська 11	Різниця урожайності	Квадрат різниці
			d
1	60,8	55,3	5,5	30,25
2	52,4	57,1	4,7	22,09
3	47,8	51,8	4,0	16,00
4	47,2	50,7	3,0	9,00
Разом	208,2	214,4	17,2	77,34
Середні	52,5	53,6	4,3	-

Обидва сорти утворюють пари, і врожайність їх можна порівняти тільки попарно в межах кожної повторності.

Щоб оцінити результати порівняння сортів озимої пшениці, висунемо гіпотезу про те, що одержана середня різниця випадкова, і висновок гіпотези зробимо з рівнем значущості 0,05.

Обчислимо середню різницю:

Знайдемо дисперсію окремих різниць й від середньої різниці :

Середня помилка середньої різниці:

Порівняємо середню різницю з середньою помилкою, тобто визначимо фактичне значення t-критерію:

Табличне значення t - критерію за рівня значущості 0,05 3 степенів вільності варіації дорівнює 3,18.

Оскільки фактичне значення критерію Стьюдента більше за табличне, то нульова гіпотеза відхиляється.

Знаючи середню помилку різниці і табличне значення критерію. Обчислимо граничну помилку середньої різниці:

Гранична помилка показує, що внаслідок випадкових коливань середня різниця урожайності порівнюваних сортів може досягти 1,7 . Отже, можна зробити висновок, що розмір фактичної середньої різниці не узгоджується з нульовою гіпотезою. Тому приймаємо альтернативну гіпотезу: сорт озимої пшениці Харківська 11 має більш високу урожайність порівняно із сортом Донецька 46.

4. Виявити вплив живої маси корів на їх продуктивність

Розглянемо приклад про розподіл 212 корів племінного господарства за живою масою.

Таблиця 6.4.

Вихідні дані			Розрахункові дані
Жива маса корови, кг.	Середина інтервалу	Кількість корів		Ф(t)	’	- ’	(
400-420	410	14	-2,34	0,0258	13	1	1	0,08
420-440	430	19	-1,58	0,1145	17	2	4	0,24
440-460	450	38	-0,83	0,2827	43	-5	25	0,58
460-480	470	63	-0,08	0,3977	60	3	9	0,15
480-500	490	44	0,68	0,3166	48	-4	16	0,33
500-520	510	26	1,43	0,1435	23	3	9	0,39
520-540	530	5	2,19	0,0363	5	0	0	0
Разом	-	209	-	-	29	-	-	1,77

Обчислення теоретичних частот і критерію

Потрібно виявити вплив живої маси корів на їх продуктивність за допомогою кореляційною аналізу. Необхідною умовою проведення кореляційною аналізу є нормальний розподіл сукупності. У зв’язку з цим слід перевірити відповідність емпіричного розподілу нормальному за допомогою критерію узгодження

Сформулюємо гіпотези: нульову – емпіричний розподіл відповідає нормальному; альтернативну - емпіричний розподіл не відповідає нормальному.

Для розв’язання задачі потрібно за даними емпіричного розподілу визначити теоретичні частоти, які відповідають кривій нормального розподілу. Відомо, що крива нормального розподілу характеризується двома параметрами: середньою і середнім квадратичним відхиленням.

Обчислимо середнє квадратичне відхилення з урахуванням поправки Бесселя за формулою:

Знаючи середню і середнє квадратичне відхилення живої маси визначимо нормативні відхилення:

Знаходимо Ф(t) – імовірність повторення даного значення ознаки х у нормально розподіленій сукупності. Наприклад, значенню відповідає імовірність повторення 0,0258 (258 сприятливих наслідків із 10 000).

Обчислимо теоретичні частоти за формулою:

,

де N – чисельність сукупності; і – величина інтервалу.

Постійний множник у нашому прикладі дорівнюватиме

У першій групі теоретичні частоти становлять 0,0258 5=0,129. Підсумовуючи дані останньої графи, матимемо фактичне значення критерію узгодження =1,75.

Кількість степенів вільності варіації визначають як кількість груп у ряді n=7 мінус кількість показників емпіричного ряду, використаних під час обчислення теоретичних частот. У нашому прикладі таких показників три: , звідки За чотирьох степенів вільності і рівня значущості 0,05 табличне значення дорівнює 9,49. Оскільки , то нульова гіпотеза приймається. Отже. Що емпіричному розподілу корів за живою масою відповідає теоретичний, а розбіжності між ними зумовлені випадковими причинами.

5. Перевірити гіпотези про однорідність двох сукупностей за критерієм

Таблиця 6.5.

Розподіл доярок за стажем роботи на підприємствах двох регіонів і розрахунок критерію однорідності

Група доярок за стажем роботи	Кількість доярок			Частка групи доярок у загальній їх кількості			Різниця		Квадрат різниці		Вага		Зважений квадрат різниці
0-10	33	15	48		0,25	0,15		0,1		0,01		0,02		0,0002
10-20	48	30	78		0,30	0,30		0,10		0,0100		0,0128		0,000128
20-30	42	45	87		0,45	0,45		-0,10		0,0100		0,0115		0,000115
30-40	6	10	16		0,10	0,10		-0,05		0,0025		0,0625		0,000156
Разом	129	100	229		1,1	1,00		-		-		-		0,000599

Послідовність розрахунків показано в таблиці 6.5. Щоб визначити фактичне значення , слід підсумок графи 7 помножити на

Кількість степенів вільності варіацій:

К=а-1=4-1=3,

де а-кількість груп (інтервалів).

Табличне значення вільності варіації і рівні значущості 0,05 дорівнює 7,82.

Оскільки, (7,7 7,82), слід погодитися з нульовою гіпотезою. Досліджувані групи доярок можна вважати однорідними за стажем роботи, адже вони взяті з однієї генеральної сукупності.

6. Перевірити гіпотези про вплив орендного підряду на урожайність за критерієм Вілкоксона

Таблиця 6.6.

Урожайність картоплі в господарствах району

до і після впровадження орендного підряду

Номер господарства	Урожайність картоплі у підрозділах, ц/га
	які впровадили орендний підряд		які не впровадили орендний підряд
	у базисному періоді	у звітному періоді	у базисному періоді	у звітному періоді
1	207	235	214	220
2	189	211	185	190
3	214	227	210	226
4	233	230	219	230
5	190	217	192	207
6	185	197	197	215
7	214	238	205	210
8	175	208	180	195
9	181	216	176	186
10	196	224	200	214

Потрібно оцінити істотність змін урожайності картоплі в зв’язку з впровадженням орендного підряду. Рівень значущості – 0,05.

Для перевірки гіпотези обчислимо різниці урожайності у кожному господарстві за формулою:

,

де і - урожайність картоплі у підрозділах, які впровадили орендний підряд у звітному і базисному періодах; і - урожайність картоплі у підрозділах із звичайною формою організації праці у звітному і базисному періодах.

Обчислену різницю урожайності картоплі та порядкові ранги занесемо у таблицю 6.7.

Таблиця 6.7.

Різниця в урожайності картоплі та порядкові ранги

Номер господарства	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Різниця урожайності	+22	+17	-3	-6	+18	-6	+19	+18	+25	+14
Ранг різниці	9	5	-1	-2	6	-3	8	7	10	4

Визначимо суми рангів з додатнім і від’ємними знаками:

+Т=49; -Т=6.

Меншу суму рангів (без урахування знака) порівнюють із табличним значенням критерію Вілкоксона за вибраного рівня значущості. У даному прикладі критичне значення критерію Вілкоксона за 10 попарно пов’язаних спостережень і рівня значущості 0,05 дорівнює 8.

Оскільки сума від’ємних рангів менша за табличне значення (6<8), то нульова гіпотеза відхиляється на відповідному рівні значущості. З імовірністю помилитися у 5 випадках із 100 можна стверджувати, що розбіжності в урожайності картоплі є наслідком впровадження орендного підряду.

7.Перевірити гіпотезу про відповідність розподілу нормальному закону за допомогою критерію Колмогорова

Таблиця 6.8.

Жива маса поросят, кг.	Частоти		Нагромаджені частоти			Різниця між нагромаджуваними частотами, d
	емпіричні	теоретичні		емпіричні	теоретичні
12	16	5		16	5		11
13	10	11		26	16		10
14	24	23		50	39		11
15	30	36		80	75		5
16	45	43		125	118		7
17	36	38		161	156		5
18	32	25		193	181		12
19	11	13		204	194		10
20	5	6		209	200		9
Разом	209	200		-	-		-

Сформулюємо гіпотези: нульову – емпіричний розподіл відповідає нормальному; альтернативну - емпіричний розподіл не відповідає нормальному. Рівень значущості – 0,05.

Обчислимо фактичне значення ,

Фактичне значення - критерію – 1,03 менше за критичний . Отже, слід погодитися з нульовою гіпотезою, яка передбачає відповідність емпіричного розподілу нормальному. Вибірковий розподіл поросят за живою масою узгоджується з нормальним.