Средние величины

Средняя величина является самым обобщающим показателем в статистике. Это связано с тем, что с ее помощью можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Например, для сравнения заработной платы рабочих двух предприятий не может быть взята заработная плата двух конкретных рабочих, поскольку она выступает варьирующим показателем. Также не может быть взята общая сумма заработной платы, выплаченной на предприятиях, так как она зависит от количества работающих. Если же мы разделим общую сумму заработной платы каждого предприятия на численность работающих, то сможем их сравнить и определить, на каком предприятии средняя заработная плата выше.

Иными словами заработная плата изучаемой совокупности рабочих получает обобщенную характеристику в средней величине. В ней выражается то общее и типичное, что характерно для совокупности рабочих в отношении изучаемого признака. Она в этой величине показывает общую меру этого признака, имеющего различное значение у единиц совокупности.

Определение средней величины. Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средняя величина показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. С помощью средней величины можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам (доходы на душу населения, урожайность сельскохозяйственных культур, себестоимость производства продукции на различных предприятиях).

Средняя величина всегда обобщает количественную вариацию признака, которым мы характеризуем изучаемую совокупность, и который в равной степени присущ всем единицам совокупности. Значит, за всякой средней величиной всегда скрывается ряд распределения единиц совокупности по какому - то варьирующему признаку, т.е. вариационный ряд. В этом отношении средняя величина принципиально отличается от относительных величин и, в частности от показателей интенсивности. Показатель интенсивности – отношение объемов двух разных совокупностей (например, производство ВВП на душу населения), в то время как средняя – обобщает характеристику элементов совокупности по одному из признаков(например, средняя заработная плата рабочего).

Средняя величина и закон больших чисел. В изменении средних показателей проявляется общая тенденция, под влиянием которой складывается процесс развития явлений в целом, в отдельных же индивидуальных случаях эта тенденция может и не обнаружиться явно. Важно, чтобы средние величины были основаны на массовом обобщении фактов. Только при этом условии они выявят общую тенденцию, лежащую в основе процесса целом.

Во все более полном погашении отклонений, порождаемых случайными причинами, по мере увеличения числа наблюдений проявляется сущность закона больших чисел и его значение для средних величин. То есть закон больших чисел создает условия, чтобы в средней величине проявился типичный уровень варьирующего признака в конкретных условиях места и времени. Величина этого уровня определяется сущностью этого явления.

Виды средних величин. Средние величины, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних, общая формула которых имеет следующий вид:

Где х – степенная средняя;

- х – меняющиеся величины признака(варианты)

– число вариант

- показатель степени средней;

- знак суммирования.

При различных значениях показателя степени средней получаются различные виды средней величины:

- средняя арифметическая;

- средняя квадратическая;

- средняя кубическая;

- средняя гармоническая;

- средняя геометрическая.

Различные виды средней величины имеют разные значения при использовании одних и тех же исходных статистических материалов. При этом, чем больше показатель степени средней, тем выше ее величина.

В статистике правильную характеристику совокупности в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средних величин. Для определения этого вида средней величины используется критерий, определяющий свойства средней: средняя величина только тогда будет верной обобщающей характеристикой совокупности по варьирующему признаку, когда при замене всех вариант средней величиной общий объем варьирующего признака остается неизменным. То есть правильный вид средней определяется тем, как образуется общий объем варьирующего признака. Так, средняя арифметическая применяется тогда, когда объем варьирующего признака образуется как сумма отдельных вариант, средняя квадратическая – когда объем варьирующего признака образуется как сумма квадратов, средняя гармоническая – как сумма обратных значений отдельных вариант, средняя геометрическая – как произведение отдельных вариант. Кроме средних величин в статистике

Применяют описательные характеристики распределения варьирующего признака (структурные средние), моду (наиболее часто встречающаяся варианта) и медиану (серединная варианта).

Средняя арифметическая

Определение средней арифметической. Среднее арифметическая есть частное от деления суммы вариант на их число. Она применяется в случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сума значений признака у отдельных ее единиц (например общий фонд заработной платы – как сумма выплаченных заработных плат, общий сбор рожая – как сумма сборов с каждого гектара площади).

Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сложить все отдельные варианты и сумму разделить на их число:

Средняя простая и взвешенная. Приведенная выше формула есть формула средней арифметической простой (невзвешенной).

Если некоторые варианты имеют одинаковые значения, то среднюю арифметическую можно исчислить путем перемножения различных значений вариант на их частоту, а затем сумму произведений вариант разделить на сумму частот:

Примером использования средней взвешенной величины служит расчет среднего балла по группе, полученного за сданный экзамен. К примеру, в группе 25 чел., из них 5 человек получили «отлично», 10 – «хорошо», 8- «удовлетворительно», 2 – «неудовлетворительно», Средний балл по группе можно вычислить и по формуле средней арифметической простой, однако, здесь лучше применить среднюю арифметическую сложную: х=(5*5+10*4+8*3+2*2)/25= 25+40+24+4/25= 93/25=3,72.

Три приема вычисления средней арифметической (выбор формулы для исчисления средней величины). Наиболее часто встречаются следующие приемы вычисления средней арифметической:

1. Если имеются все значения варьирующего признака, полученные в результате наблюдения, то используют формулу средней арифметической простой. Если же данные представлены в виде различных значений вариант и их частот, то применяют формулу средней арифметической взвешенной.

2. Если имеется готовая сумма варьирующих признаков и соответствующая ей численность совокупности, то среднюю арифметическую определяют путем их деления.

3. Вычисление средней арифметической величины на основе вариационного ряда.

Наиболее распространенным является второй случай, так как при разработке отчетности всегда есть данные об общем объеме варьирующих признаков и соответствующей ей численности совокупности. Например, всегда есть валовой сбор зерна и соответствующая ему посевная площадь, что дает в результате деления первого на второе среднюю урожайность зерна. Аналогично, имеется фонд оплаты труда и численность занятых, их отношение дает среднюю заработную плату.Вычисление средней арифметической на основе вариационного ряда.

Если ряд дискретен, то расчет средней арифметической производится по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. варианты умножаются на частоты, а затем сумма произведений делится на сумму частот. Например, в одном из сел Южно-Казахстанской области имеется 200 семей со следующим их распределением по числу детей.

Число детей в семье(варианты х)	Число семей (частота )	Число детей (произведение вариант на частоту, х )
0	10	0
1	30	30
2	75	150
3	45	135
4	20	80
5	15	75
6	5	30
Итого	200	500

Среднее число детей в семье в данном селе будет равно: х= ∑х / = ∑= 500/200= 2,5 ребенка.

Если же ряд интервальный, то его нужно привести к дискретному виду. Для этого обычно интервал заменяют его средним значением, определяемым как полусумма верхней и нижней границ. Например, на одном из предприятий с численностью рабочих 500 человек, среднемесячная заработная плата находилась в пределах от 26000 до 38 тыс тг. Например, на одном из предприятий с численностью рабочих 500 человек, среднемесячная заработная плата находилась в пределах от 26000 до 38000 тенге. Имеются данные о распределении числа рабочих имеющих заработную плату в интервалах равных 1000 тенге, но нет сведений об общем фонде заработной платы. В этом случае делается следующий расчет:

Статический ряд распределения рабочих по размеру заработной платы на предприятии

Группа рабочих по заработной плате ,.	Серединное значение интервала х	Число рабочих	Произвнедение вариант на частоты
26000-28000	27000	10	270000
28000-30000	29000	50	1450000
30000-32000	31000	100	3100000
32000-34000	33000	115	3795000
34000-36000	35000	180	6300000
36000-38000	37000	45	1665500
Итого		500	16580000

В результате среднемесячная заработная плата на данном предприятии составит:

Х= ∑х / = ∑ =16580000/500= 33160 тенге.