Основное содержание дисциплины:

Модуль1. Вероятности событий

Тема 1. Основные понятия комбинаторики. Случайные события, частота и вероятность.

Комбинаторное правило умножения. Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов. Классический способ подсчета вероятностей. Геометрические вероятности. Пространство элементарных событий. Случайное событие как подмножество в пространстве элементарных событий. Алгебра событий. Аксиомы вероятности и вероятностное пространство. Следствия из аксиом. Статистическое определение вероятности.

Тема 2. Основные формулы для вычисления вероятностей. Условные вероятности.

Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формулы Байеса вероятностей гипотез. Независимые события. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли. Приближенные формулы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа. Предельная теорема и приближенная формула Пуассона.

Модуль 2. Случайные величины

Тема 3. Случайные величины и законы распределения вероятностей

Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Независимость случайных величин. Функции от одной или нескольких случайных величин. Арифметические операции над случайными величинами. Дискретная случайная величина (ДСВ) и ее закон распределения. Основные числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, ковариация и коэффициент корреляции. Математическое ожидание функции от ДСВ.

Тема 4.Модели законов распределения вероятностей в практике статистических исследований.

Законы распределения, используемые для описания механизмов реальных процессов или систем. Распределения, возникающие при анализе последовательности испытаний Бернулли: биномиальное и отрицательное биномиальное. Гипергеометрическое распределение. Распределение Пуассона и полиномиальное, нормальное и логарифмически-нормальное распределение.

Модуль 3. Предельные теоремы теории вероятностей

Тема 5. Закон больших чисел, ЦПТ

Правило «трех сигм» в общем случае. Теоремы Чебышева и Бернулли. Последовательности случайных величин. Сходимость по вероятности и закон больших чисел. Центральная предельная теорема (ЦПТ) в форме Ляпунова для одинаково распределенных слагаемых и в общем случае.

Тема 6. Последовательности случайных величин в дискретном пространстве. Цепи Маркова

Характеристическая функция случайной величины и ее свойства. Функция нормального распределения, гамма-распределения, биномиального. Равномерного. Показательного распределения. Производящая функция случайной величины и ее свойства. Последовательности случайных величин в дискретном пространстве, цепи Маркова.

Модуль 4. Случайные векторы

Тема 7. Совместное распределение случайных величин. Дискретные случайные векторы

Случайный вектор. Зависимые и независимые случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Одинаково распределенные случайные векторы. Связь функции распределения случайного вектора с функциями распределения его компонент. Вероятность попадания дискретного случайного вектора в заданное множество.

Тема 8. Числовые характеристики дискретных и абсолютно непрерывных случайных векторов.

Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора и его связь с распределениями компонент. Абсолютно непрерывные случайные векторы. Вероятность попадания абсолютно непрерывного случайного вектора в заданное множество. Связь функции плотности распределения случайного вектора с функциями плотности его компонент. Функция плотности и независимость компонент случайного вектора. Математическое ожидание функции от компонент случайного вектора. Ковариационная матрица случайного вектора. Неотрицательная определенность ковариационной матрицы. Условные распределения и условные плотности. Условное математическое ожидание и его свойства. Формула полного математического ожидания. Условная дисперсия. Формула полной дисперсии.

Модуль 5. Эмпирические характеристики и выборки

Тема 9. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Генеральная совокупность. Эмпирическая функция распределения и вариационный ряд. Гистограмма. Мода и медиана. Генеральные среднее, дисперсия, моменты высших порядков (асимметрия, эксцесс). Эмпирическая ковариация.

Тема 10. Повторные и бесповторные выборки.

Математическое ожидание и дисперсия выборочного среднего для повторной и бесповторной выборки.

Модуль 6. Точечные и интервальные оценки

Тема 11. Точечные оценки и их свойства. Метод моментов

Несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок. Оценка неизвестной вероятности по частоте. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии. Метод моментов.

Тема 12. Интервальные оценки и доверительные области. Основные виды гипотез и логическая схема статистического критерия.

Приближенный доверительный интервал для оценки генеральной доли признака. Приближенный доверительный интервал для оценки генерального среднего. Статистическая проверка гипотез: основные виды гипотез, общая логическая схема критерия, качество критерия. Характеристики качества статистического критерия. Критерии согласия и однородности. Проверка гипотезы о числовых значениях параметров. Основы статистического исследования зависимостей.